Изменение размеров матрицы, без потери ее элементов

[ShMaxG]

Circiter
Правильно, подобрав -- можно получить матрицу $H$, любой размерности, в том числе данной. Но надо получить не произвольную матрицу $H$, а reshape(X). Размерности $X$ и $H$ однозначно определяют размерность $M$ и $N$, но не существует матриц $M$ и $N$ таких, что $H=MXN$ для конкретных $X$ и $H$ (смотрите условие).
Как классно заметил ewert, при умножении матрицы $X$ на $N$ мы заведомо теряем информацию о 6 элементах матрицы. Все-то 12 независимых переменных, а запихиваются они в 6 ячеек. А умножение на $M$ не приведет к появлению потерянной информации, так как она не зависит от $X$.
Поэтому решение задачи логично выполнить в два шага. Сначала из матрицы $X$ забираются одни 6 элементов, а замет другие 6 элеметов. Результаты складываются как нужно.

[ewert]

Circiter в сообщении #472108 писал(а):

Подобрав $M$ и $N$ можно получить $H=MXN$ любой желаемой размерности.

Неверная логика. Задача состояла в том, чтобы получить фиксированные Эм и Эн, которые давали бы правильный результат для любых Иксов. А это невозможно в принципе.

Почему, если детальнее. Умножение произвольной матрицы на фиксированную (неважно, с какой стороны) есть некоторый линейный оператор, действующий из линейного пространства тех самых произвольных матриц. Конечно, это очень частный случай линейных операторов, но это не важно; главное -- что он линеен и, следовательно, переводит то самое пространство произвольных матриц в некоторое опять же линейное пространство.

Так вот: умножение на маленькую фиксированную матрицу справа уменьшает размерность исходного пространства матриц с двенадцати до не более чем шести. После чего на что слева ни умножай -- и даже вообще какие линейные отображения ни выдумывай -- исходной двенадцатой размерности точно не восстановишь.

-- Сб июл 30, 2011 02:15:54 --

Т.е, если доводить уж дело до конца. Вполне очевидно, что требуемое преобразование может быть записано в виде $Y=\sum_kM_kX\,N_k$. С известными, разумеется, размерами Эмов и Энов. И можно лишь ставить вопрос о том, каково минимально необходимое количество слагаемых в этой сумме.

Так вот, всё вышесказанное сводится к простому утверждению: двух слагаемых -- хватит; одного же -- ну уж извините.

[Circiter]

Ага, понятно... Ужо когда эмпирически доказал, что в $H=MXN$ матрицы $M$ и $N$ не могут быть $(0,\ 1)$-матрицами, ещё тогда сомнения вкрались, а теперь-то совсем ясно. :)

Впрочем, "дидактический" ляп в объяснениях ewert'а все-таки есть... Вот, например,

ewert писал(а):

Так вот: умножение на маленькую фиксированную матрицу справа уменьшает размерность исходного пространства матриц с двенадцати до не более чем шести. После чего на что слева ни умножай -- и даже вообще какие линейные отображения ни выдумывай -- исходной двенадцатой размерности точно не восстановишь.

Спрашивается, а почему, собственно, сразу на меленьку да справа-то? Я вот матричное умножение почему-то левоассоциативным воспринимал... В любом случае, как столь же просто объяснить потерю информации в $H=(MX)N$?

[ShMaxG]

А зачем ее объяснять по-другому, быть может, более сложным способом, если есть и так простое объяснение?

[Cubic]

Интересный вывод можно сделать- не каждое линейное отображение, действующее в пространстве матриц, можно представить в виде матрицы этого отображения. Хммм...

[ewert]

Нельзя сделать: матрицы $M$ и $N$ не имеют ничего общего с матрицей отображения.

[Cubic]

Вот в этом то и загвоздка: два векторных пространства есть, линейное отображение тоже есть, а матрицу этого отображения составить не получается, так как не сходятся размеры векторов пространств!

[Kallikanzarid]

Cubic в сообщении #472852 писал(а):

Вот в этом то и загвоздка: два векторных пространства есть, линейное отображение тоже есть, а матрицу этого отображения составить не получается, так как не сходятся размеры векторов пространств!

Не надо убивать мою веру в людей <_< Матрица линейного отображения существует в любом базисе, тут речь не об этом.

[Azog]

Cubic в сообщении #472852 писал(а):

Вот в этом то и загвоздка: два векторных пространства есть, линейное отображение тоже есть, а матрицу этого отображения составить не получается, так как не сходятся размеры векторов пространств!

Очевидно существует. Просто она, как бы это помягче, прямоугольная.
Хотя, конечно, бывает что есть еще и сдвиг (не в Вашей задаче):
$X\to AX+B$, где A, B, X матрицы соответствующих размерностей. Но это только если нулевая матрица переходит не в нулевую. Вообще, стоило бы освежить свои знания прочтением первой пары глав в любом учебнике по линейной алгебре.

[Kallikanzarid]

Azog в сообщении #473037 писал(а):

Хотя, конечно, бывает что есть еще и сдвиг

Это уже аффинное преобразование, а не линейное.

[Circiter]

2Kallikanzarid

Цитата:

Это уже аффинное преобразование, а не линейное.

Аффинное же можно сделать линейным "погрузив" в большую размерность с помощью известной проективной примочки... Или я что-то путаю? Это я по-аналогии с трансляциями из компьютерной графики рассуждаю...

-- Ср авг 03, 2011 09:29:25 --

Дык, получается, что ShMaxG'совский reshape, aka $MXN$ -- нелинейное отображение... Ага. А к какому классу тогда оно относится? Извините, если как всегда глупости спрашиваю... :)

[Azog]

Цитата:

Это уже аффинное преобразование, а не линейное.

Есть некоторая разница в терминологии. Я привык называть линейным отображением всякое отображение удовлетворяющее свойству линейности, но в целом я согласен, такие отображения таки лучше называть в данном контексте аффинными.

[Kallikanzarid]

Azog в сообщении #473056 писал(а):

Я привык называть линейным отображением всякое отображение удовлетворяющее свойству линейности

Свойство линейности - $f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)$.

[Cubic]

2Kallikanzarid

Kallikanzarid в сообщении #473035 писал(а):

Не надо убивать мою веру в людей <_< Матрица линейного отображения существует в любом базисе, тут речь не об этом.

Как раз таки об этом (по крайней мере я об этом спрашивал). Есть пространства $X \in \mathbb{R}^{3 \times 4} $ и $H \in \mathbb{R}^{6 \times 2} $. Несуществует матрицы $A $, такой что $h = Ax, \forall x\in X, \forall h\in H $.

2Azog

Цитата:

Просто она, как бы это помягче, прямоугольная.

Поясните пожалуйства, что Вы имеете в виду. Как это согласуется с правилами произведений матриц???

-- 03.08.2011, 13:02 --

Kallikanzarid в сообщении #473077 писал(а):

Azog в сообщении #473056 писал(а):

Я привык называть линейным отображением всякое отображение удовлетворяющее свойству линейности

Свойство линейности - $f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)$.

Вот тут проявляется различие в том, как определяют линейность математики и инженеры. Для инженера линейность это что-либо описываемое уравнением прямой

[Azog]

Если у Вас есть линейное преобразование матричных пространств: $\Psi^ M^m\to M^n$, то оно может быть быть записано в следующем виде: $X\to AX$, где A,X - матрицы соответствующих размерностей. Размеры должны быть, само собой, согласованы, как в Вашем случае.