Уравнение Ферма

не имеет целых решений. Но насколько этот факт устойчив? Если условие чуть-чуть изменить, то можно ли сделать уравнение разрешимым?
Менять условие можно в самых разных смыслах. Например, можно неизвестным

разрешить принимать не целые значения и смотреть насколько они будут отличаться от целых.
1. Существуют ли корни уравнения Ферма сколь угодно близкие к целым числам?
Ответ на этот вопрос, кажется, положительный.
2. Можно чуть-чуть изменить само уравнение. Рассмотрим уравнение

где А -некоторая целая константа. Если

, то уравнение разрешимо в целых. Существуют ли константы А, при которых уравнение не разрешимо в целых числах?
Можно менять условие и другими способами.Но тут работало столько великих людей, что наверняка, или все, что я говорю банальность, или давно сделано.