Не точно, так хоть приближенно?

[В.О.]

Уравнение Ферма $x^3 + y^3 -z^3 = 0$ не имеет целых решений. Но насколько этот факт устойчив? Если условие чуть-чуть изменить, то можно ли сделать уравнение разрешимым?
Менять условие можно в самых разных смыслах. Например, можно неизвестным $x, y, z$ разрешить принимать не целые значения и смотреть насколько они будут отличаться от целых.
1. Существуют ли корни уравнения Ферма сколь угодно близкие к целым числам?
Ответ на этот вопрос, кажется, положительный.
2. Можно чуть-чуть изменить само уравнение. Рассмотрим уравнение $x^3 + y^3 -z^3 =A$ где А -некоторая целая константа. Если $ A = 1$ , то уравнение разрешимо в целых. Существуют ли константы А, при которых уравнение не разрешимо в целых числах?
Можно менять условие и другими способами.Но тут работало столько великих людей, что наверняка, или все, что я говорю банальность, или давно сделано.

[AKM]

Правила форума писал(а):

3. Дискуссионные темы

........................................

Поэтому в отношении указанного круга тем действуют следующие особые правила.
3.1. Дискуссионная тема должна иметь максимально четкую формулировку и обоснования, принятые в той дисциплине, к которой они относятся. В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, ...

Отправлено в карантин для исправления.
(Возвращающему коллеге: тема была в разделе ВТФ. Хотя в исправленном варианте это и так должно быть понятно.)

[В.О.]

Кажется, нужно подчеркнуть, что речь не просто об обобщении уравнения Ферма, коих великое множество topic17053.html Собственно, каждый энтузиаст может выбрать себе по персональному обобщению и посвятить ему жизнь, уверенно считая себя первопроходцем.
Речь о "малых" обобщениях.
Логично начинать с "минимального" обобщения. Впрочем, возможно, я ошибаюсь.

[nnosipov]

В.О. в сообщении #471760 писал(а):

Уравнение Ферма $x^3 + y^3 -z^3 = 0$ не имеет целых решений. Но насколько этот факт устойчив? Если условие чуть-чуть изменить, то можно ли сделать уравнение разрешимым?
Менять условие можно в самых разных смыслах. Например, можно неизвестным $x, y, z$ разрешить принимать не целые значения и смотреть насколько они будут отличаться от целых.
1. Существуют ли корни уравнения Ферма сколь угодно близкие к целым числам?
Ответ на этот вопрос, кажется, положительный.
2. Можно чуть-чуть изменить само уравнение. Рассмотрим уравнение $x^3 + y^3 -z^3 =A$ где А -некоторая целая константа. Если $ A = 1$ , то уравнение разрешимо в целых. Существуют ли константы А, при которых уравнение не разрешимо в целых числах?
Можно менять условие и другими способами.Но тут работало столько великих людей, что наверняка, или все, что я говорю банальность, или давно сделано.

1. Очевидно, да: $x=1$, $y=n$, $z=\sqrt[3]{n^3+1}$.
2. Сколько угодно, например любое $A \equiv 4 \pmod{9}$.

[В.О.]

nnosipov в сообщении #472463 писал(а):

1. Очевидно, да:

Угу.

nnosipov в сообщении #472463 писал(а):

2. Сколько угодно, например А=4

Может быть. Но было бы интересно увидеть какое-то доказательство.
Следующее по малости отклонения после А=1 будет А=2.

[nnosipov]

Доказательство того, что уравнение $x^3+y^3-z^3=4$ не имеет решений в целых числах, очень простое: дело в том, что неразрешимо сравнение $x^3+y^3-z^3 \equiv 4 \pmod{9}$ (а это следует из того, что куб любого целого числа сравним с $0$ или $\pm 1$ по модулю $9$). Но уравнение $x^3+y^3-z^3=2$ уже имеет бесконечно много решений (указать их --- более интересная задача).

[В.О.]

При А=4 понятно. При А=2 не очень. Но в принципе, уже ясно, что при небольших А может быть все, что угодно. Теперь нужно или давать ответ для произвольного А, или бросать это занятие.
Тут есть еще один принципиальный вопрос. Не существет ли более простого уравнения, чем уравнение Ферма, с тем же эффектом неразрешимости при любых эн.

[migmit]

В.О. в сообщении #472743 писал(а):

Тут есть еще один принципиальный вопрос. Не существет ли более простого уравнения, чем уравнение Ферма, с тем же эффектом неразрешимости при любых эн.

$x=x+1$ пойдёт?

[nnosipov]

В.О. в сообщении #472743 писал(а):

Теперь нужно или давать ответ для произвольного А, или бросать это занятие.

Лучше второе, потому что первое очень сложно (на ум приходит аналогичный вопрос про возможное значение разности между точным кубом и точным квадратом, ответ на который до сих пор неизвестен).

[В.О.]

nnosipov в сообщении #472767 писал(а):

Лучше второе, потому что первое очень сложно

Вы так бойко начали, что возникло впечатление, что Вам первое не составит труда. Покажете на последок случай А=2?

-- Вт авг 02, 2011 20:50:32 --

migmit в сообщении #472754 писал(а):

пойдёт?

Это врядли. Объяснить почему?

[nnosipov]

В.О. в сообщении #472932 писал(а):

Покажете на последок случай А=2?

Почему бы и нет: уравнение $x^3+y^3-z^3=2$ имеет решение $x=1+6k^3$, $y=1-6k^3$, $z=6k^2$, где $k$ --- произвольное целое число. Проверить нетрудно, а вот догадаться непросто.

[В.О.]

Сразу переносится на случай $ A = 2m^3 $, $ m $ -целое.
Итого:
$ A = m^3 $ -разрешимо,
$ A =2 m^3 $ - разрешимо,
$ A = 4 $ - не разрешимо.
Трудно удержаться, чтобы не предположить, что
$ A =3 $ - разрешимо.

[nnosipov]

В.О. в сообщении #473060 писал(а):

Трудно удержаться, чтобы не предположить, что
$ A =3 $ - разрешимо.

Уравнение $x^3+y^3-z^3=3$ действительно разрешимо: $x=1$, $y=1$, $z=-1$ или $x=4$, $y=4$, $z=5$.

[В.О.]

$A = 5 (\mod 9)$ - неразрешимо.
Неужели $ А = 6,7,8$ разрешимы?

Кажется, можно доказать "почти" теорему Ферма.
Теорема (?)
Для любого доcтаточно большого целого числа можно найти показатель степени $n$ такой, что это число не является корнем уравнения Ферма с показателем степени $n$.

[migmit]

В.О. в сообщении #472932 писал(а):

Это врядли. Объяснить почему?

Конечно.