Гипотеза Эйлера

[Andrey69]

Вывел теорему, частным случаем которой является теорема Ферма. Впрочем, "вывел" - слишком сильно сказано. Посмотрите, может это уже давно изобретенный велосипед?

Ссылка: http://shvetsandrey.narod.ru/ferma.doc

[PAV]

PAV:

Я неизвестные файлы стараюсь не открывать и другим не советую.
Хотите чем-то поделиться - приведите здесь хотя бы формулировку, используя принятые на форуме средства записи формул.

[Xaositect]

$27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5.$

[Andrey69]

Xaositect, спасибо

[maxal]

Вообще-то это известная гипотеза Эйлера. Она верна для степени 3 (частный случай теоремы Ферма), и неверна для степеней 4 и 5. Для степени 6 - вопрос открыт.

[Andrey69]

Первоначально мною была предложена следующая формулировка:
Выражение:
X_1^n+X_2^n+...+X_m^n=X_{m+1}^n
не имеет решения в целых числах при n>m

Однако я не учел, того плотность решений меняется неравномерно. После учета этих колебаний, пришел к выводу, что приведенное выше правило справедливо только при m<=3. Во всех остальных случаях данное выражение имеет решение в целх числах.

Чуть подробней (с попыткой доказательства) на сайте.

[tolstopuz]

$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4$

[Andrey69]

В своей работе я писал, что в случае с m=3 колебания в точности вписываются со средним изменением плотности. Причем для всех значений n. То есть применимый мной метод не делает различий для разных n при m=3. Жаль. Можно только сделать вывод: выражение (из предыдущего поста) имеет решение в целых числах для всех m>3. Но это как-то не впечетляет. Да и сам метод, больше интуитивный ... Но было весело. Всем спасибо.

[Sonic86]

Попробуйте порешать уравнение $x^n+y^m=z^k, n,m,k>2$.
Кроме серии решений, порождаемой решением уравнения Каталана, там, кажется, есть еще.

[maxal]

Sonic86 писал(а):

Попробуйте порешать уравнение $x^n+y^m=z^k, n,m,k>2$.
Кроме серии решений, порождаемой решением уравнения Каталана, там, кажется, есть еще.

Это уравнение напрямую связано с гипотезой Биля, которая утверждает, что во всяком его решении в натуральных числах $x,y,z$ эти числа не являются взаимно-простыми.

[yk2ru]

На комплексные числа теорему не распространяли, например с наложением условия что действительные и мнимые значения чисел a, b и c должны быть целыми (или их модули)? Если показатель оставить натуральным.

[maxal]

tolstopuz в сообщении #155998 писал(а):

$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4$

В книге Серпинский В. — О решении уравнений в целых числах на стр. 60 есть интересное утверждение о гипотезе Эйлера для 4-х степеней:

Эйлер высказал предположение, что уравнение $x^4 + y^4 + z^4 = t^4$ не имеет решений в натуральных числах $x,y,z,t$. В 1945 г. М. Уорд доказал, что оно не имеет таких решений для $t<10^8$.

Интересно, как это ему удалось - в известном ныне контрпримере неравенство $t<10^8$ выполняется. Хотелось бы взглянуть на доказательство и найти ошибку... Жалко, что в книге нет точной ссылки на публикацию М. Уорда.

[shwedka]

Ward, Morgan Euler's three biquadrate problem. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31, (1945). 125--127.
Ward, Morgan Euler's problem on sums of three fourth powers. Duke Math. J. 15, (1948). 827--837.
The famous problem referred to in the title is that of proving or disproving that a biquadrate is not the sum of three biquadrates. This paper proves that the Diophantine relation

$$ x^4+y^4+z^4=w^4,\quad\quad\quad xyw\neq 0, \tag1 $$

implies (2) $w>10^4$. The basic idea of the proof is set forth in a previous paper [Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31, 125--127 (1945); MR0012104 (6,259e)]. In the present paper a full account of the details is given. The assumption that (1) has a solution leads to the equation

$$ u^4+v^4=2^\epsilon kl(2^{8\sigma+2\epsilon+18}d^8k^2+e^8l^2). \tag3 $$

The denial of (2) gives corresponding restrictions on the variables on the right side of (3). All numbers of this form, with these restrictions, are shown not to be the sum of two biquadrates either by using lemmas, small moduli, or in stubborn cases by examining all representations as sums of two sqaures. The extensive calculations involved do not invite further efforts in this direction.

[maxal]

shwedka
Спасибо! Теперь понятно, что в книге Серпинского банальная опечатка - вместо $10^8$ должно быть $10^4$. А Ward, скорее всего, не виноват

Добавлено спустя 8 минут 51 секунду:

А ведь по большому счёту возможна ситуация, что такая опечатка отбила у кого-то желание искать контрпример. Вполне возможно, что если бы опечатки не было, то и контрпример был бы найден раньше.

[shwedka]

Возможно, опечатка только в русском переводе. У меня где-то в России валяется польский оригинал, но нескоро я туда доберусь. Если не забуду, посмотрю в понедельник на работе, у нас в библиотеке есть толстая книга Серпинского 'элементарная теория чисел, фрагментом которой является цитированная брошюрка.