Плоская метрика на гомологической сфере Пуанкаре

[alcoholist]

Друзья, вы что?

На открытом диске ($\simeq\mathbb{R}^2$) можно ввести метрику любой знакопостоянной кривизны (плоскость Лобачевского, евклидова плоскость, проколотая сфера)... и извращаться с ней как угодно. В чем вопрос-то?

[мат-ламер]

alcoholist в сообщении #472273 писал(а):

Друзья, вы что?

На открытом диске ($\simeq\mathbb{R}^2$) можно ввести метрику любой знакопостоянной кривизны (плоскость Лобачевского, евклидова плоскость, проколотая сфера)... и извращаться с ней как угодно. В чем вопрос-то?

bayak хочет сферу получить (непроколотую), и тут мы пытаемся обосновать, что сферу получить нельзя (поскольку она не гомеоморфна плоскости).

[bayak]

мат-ламер в сообщении #472289 писал(а):

bayak хочет сферу получить (непроколотую), и тут мы пытаемся обосновать, что сферу получить нельзя (поскольку она не гомеоморфна плоскости).

Ну что Вы, речь о другом. А alcoholist правильно меня понял.

-- Вс июл 31, 2011 08:46:34 --

alcoholist в сообщении #472273 писал(а):

На открытом диске ($\simeq\mathbb{R}^2$) можно ввести метрику любой знакопостоянной кривизны (плоскость Лобачевского, евклидова плоскость, проколотая сфера)... и извращаться с ней как угодно. В чем вопрос-то?

Тогда и метрику сферы можно поменять так, чтобы её кривизна почти всюду (кроме одной точки) стала нулевой. И как будет называться эта точка? Наверно, по аналогии с векторным полем, - особенность метрического поля.

[alcoholist]

bayak в сообщении #472322 писал(а):

Тогда и метрику сферы можно поменять так, чтобы её кривизна почти всюду (кроме одной точки) стала нулевой

Давайте попробуем: введите (руками) на дизъюнктном объединении $X=\mathbb{R}^2\cup\ast$ ($\ast$ -- точка) такую метрику $\rho$, что:

1) ее ограничение на $\mathbb{R}^2$ дает евклидову метрику

2) $X$ гомеоморфно двумерной сфере в топологии, индуцированной этой метрикой

[Munin]

alcoholist в сообщении #472273 писал(а):

Друзья, вы что?

На открытом диске ($\simeq\mathbb{R}^2$) можно ввести метрику любой знакопостоянной кривизны (плоскость Лобачевского, евклидова плоскость, проколотая сфера)... и извращаться с ней как угодно. В чем вопрос-то?

Я лично - про то, что если ввести метрику положительной постоянной кривизны, то радиус диска не может превышать $\pi R,$ где $R$ - радиус кривизны, иначе будут нарушены аксиомы метрики (при продолжении метрики в точку прокола и за неё). Это уже не "как угодно" (аналогичные ограничения возникают и при непостоянной кривизне, и даже не знакопостоянной). Я надеюсь, что для вас это очевидно, и вы объясните bayak, что вы с ним в этом пункте не солидарны.

[bayak]

alcoholist в сообщении #472333 писал(а):

bayak в сообщении #472322 писал(а):

Тогда и метрику сферы можно поменять так, чтобы её кривизна почти всюду (кроме одной точки) стала нулевой

Давайте попробуем: введите (руками) на дизъюнктном объединении $X=\mathbb{R}^2\cup\ast$ ($\ast$ -- точка) такую метрику $\rho$, что:

1) ее ограничение на $\mathbb{R}^2$ дает евклидову метрику

2) $X$ гомеоморфно двумерной сфере в топологии, индуцированной этой метрикой

А разве стереографическая проекция сферы не подходит?

-- Вс июл 31, 2011 11:19:30 --

Munin в сообщении #472342 писал(а):

alcoholist в сообщении #472273 писал(а):

Друзья, вы что?

На открытом диске ($\simeq\mathbb{R}^2$) можно ввести метрику любой знакопостоянной кривизны (плоскость Лобачевского, евклидова плоскость, проколотая сфера)... и извращаться с ней как угодно. В чем вопрос-то?

Я лично - про то, что если ввести метрику положительной постоянной кривизны, то радиус диска не может превышать $\pi R,$ где $R$ - радиус кривизны, иначе будут нарушены аксиомы метрики (при продолжении метрики в точку прокола и за неё). Это уже не "как угодно" (аналогичные ограничения возникают и при непостоянной кривизне, и даже не знакопостоянной). Я надеюсь, что для вас это очевидно, и вы объясните bayak, что вы с ним в этом пункте не солидарны.

Но о радиусе диска можно говорить только, если мы смотрим из евклидова пространства. А так (без объемлющего метрического пространства) что диск, что плоскость - всё едино.

[Munin]

bayak в сообщении #472345 писал(а):

Но о радиусе диска можно говорить только, если мы смотрим из евклидова пространства.

Нет, он измеряется по введённой метрике.

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #472333 писал(а):

на дизъюнктном объединении $X=\mathbb{R}^2\cup\ast$ ($\ast$ -- точка)

А так вопрос вообще ставить корректно? Это мало того, что несвязное пространство (даже не многообразие), еще и дифференцируемую структуру нельзя ввести. Или я ошибаюсь?

[bayak]

Munin в сообщении #472351 писал(а):

Нет, он измеряется по введённой метрике.

Пожалуй, что да.

-- Вс июл 31, 2011 14:20:15 --

Kallikanzarid, а что такое гомологическая сфера Пуанкаре?

[Kallikanzarid]

bayak в сообщении #472376 писал(а):

Kallikanzarid, а что такое гомологическая сфера Пуанкаре?

http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

Меня метрика на ней заинтересовала из-за следующей гипотезы: http://en.wikipedia.org/wiki/Poincare_h ... #Cosmology

[Munin]

Да это левая гипотеза. Из серии ничем не обоснованных "а-почему-бы-и-не-таков", которые нечем опровергнуть, и из-за этого приходится считать наукой.

[Kallikanzarid]

Вроде бы данные наблюдений эта гипотеза объясняет лучше обычной с евклидовым пространством (см. ссылки в вики), но я в физике плохо соображаю :)

[alcoholist]

bayak в сообщении #472345 писал(а):

А разве стереографическая проекция сферы не подходит?

как метрика на сфере с помощью стереографической проекции получается?

Kallikanzarid в сообщении #472371 писал(а):

А так вопрос вообще ставить корректно? Это мало того, что несвязное пространство (даже не многообразие), еще и дифференцируемую структуру нельзя ввести. Или я ошибаюсь?

я и прошу метрику, что пространство в индуцированной топологии гомеоморфно сфере... Про гладкость мы пока даже не говорим

[bayak]

alcoholist в сообщении #472450 писал(а):

как метрика на сфере с помощью стереографической проекции получается?

Никак не получается. Но на плоскости она уже есть. Вы хотите меня запутать? Считайте , что у Вас получилось. Сами только не запутайтесь.

[alcoholist]

bayak

я еще раз повторю просьбу:

alcoholist в сообщении #472333 писал(а):

введите (руками) на дизъюнктном объединении $X=\mathbb{R}^2\cup\ast$ ($\ast$ -- точка) такую метрику $\rho$, что:

1) ее ограничение на $\mathbb{R}^2$ дает евклидову метрику

2) $X$ гомеоморфно двумерной сфере в топологии, индуцированной этой метрикой

а Вы на нее отвечаете:

bayak в сообщении #472345 писал(а):

А разве стереографическая проекция сферы не подходит?

Вы так и не предъявили метрику