Тогда и метрику сферы можно поменять так, чтобы её кривизна почти всюду (кроме одной точки) стала нулевой
Давайте попробуем: введите (руками) на дизъюнктном объединении

(

-- точка) такую метрику

, что:
1) ее ограничение на

дает евклидову метрику
2)

гомеоморфно двумерной сфере в топологии, индуцированной этой метрикой
А разве стереографическая проекция сферы не подходит?
-- Вс июл 31, 2011 11:19:30 --Друзья, вы что?
На открытом диске (

) можно ввести метрику любой знакопостоянной кривизны (плоскость Лобачевского, евклидова плоскость, проколотая сфера)... и извращаться с ней как угодно. В чем вопрос-то?
Я лично - про то, что если ввести метрику положительной постоянной кривизны, то радиус диска не может превышать

где

- радиус кривизны, иначе будут нарушены аксиомы метрики (при продолжении метрики в точку прокола и за неё). Это уже не "как угодно" (аналогичные ограничения возникают и при непостоянной кривизне, и даже не знакопостоянной). Я надеюсь, что для вас это очевидно, и вы объясните
bayak, что вы с ним в этом пункте не солидарны.
Но о радиусе диска можно говорить только, если мы смотрим из евклидова пространства. А так (без объемлющего метрического пространства) что диск, что плоскость - всё едино.