Изменение размеров матрицы, без потери ее элементов

[Cubic]

Насколько я понял из Википедии кодоменом называется множество, которое включает в себя образ линейного оператора. Т.е. в моем случае, как раз таки образ неизвестного линейного оператора. Но те 12 матриц, которые являются образами базисных матриц пространства $X$ , как раз и образуют базис кодомена линейного оператора. Получается в данном случае, образ линейного оператора совпадает с его кодоменом. Я правильно понимаю?

[Kallikanzarid]

Cubic в сообщении #470622 писал(а):

Насколько я понял из Википедии кодоменом называется множество, которое включает в себя образ линейного оператора. Т.е. в моем случае, как раз таки образ неизвестного линейного оператора. Но те 12 матриц, которые являются образами базисных матриц пространства $X$ , как раз и образуют базис кодомена линейного оператора. Получается в данном случае, образ линейного оператора совпадает с его кодоменом. Я правильно понимаю?

По определению домен и кодомен функции $f: X \to Y$ - это $X$ и $Y$ соответственно.

[Cubic]

Так.
1) У меня есть пространство $X$, его базис это множество матриц, у которых один элемент равен единице, а все остальные нулю;
2) У менять есть второе пространство $H$. Известен линейный оператор $A: X \to H$. Для того, чтобы найти матрицу этого оператора, я беру каждый базисный вектор (матрицу) пространства $X$ и действую на него оператором. Получаю набор новых матриц совпадающих с базисом пространства $H$, которое Вы называете кодоменом;
3) Далее Вы предлагаете записать полученные матрицы в базисе пространства $H$, т.е. предлагаете записать базисные вектора пространства $H$ в виде линейной комбинацией базисных векторов пространства $H$. Результат этой операции очевиден.
Я правильно Вас понимаю?

[Kallikanzarid]

Да :) В общем случае если у вас есть базис $e_1, \ldots, e_r$ некоторого пространства $U$ и базис $\hat e_1, \ldots \hat e_s$ некоторого пространства $V$, то по свойству линейности оператор $A: U \to V$ будет действовать на любой вектор $x \in U$ следующим образом:

$$Ax = A(\sum_{i = 1}^n x^i e_i) = \sum_{i = 1}^n x^i (A e_i) = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m x^i A_i^j \hat e_j,$$

коэффициенты $A_i^j$ образуют матрицу оператора $A$ в этом базисе, номер столбца ставится сверху.

[ShMaxG]

Отлично, эта матрица -- единичная. Пришли к выводу, что $\[H = AX = \sum\limits_{i = 1}^{12} {{x^i}{{\hat e}_i}} \]$, что само по себе очевидно и без отображений.

[Kallikanzarid]

ShMaxG в сообщении #470768 писал(а):

Отлично, эта матрица -- единичная.

Отлично, приходите на пересдачу

[ShMaxG]

Вот это правильно?
$\[A{e_i} = {\hat e_i} = \sum\limits_{j = 1}^{12} {A_i^j{{\hat e}_j}} \]$.

[ShMaxG]

Я так понимаю, под пространствами $U$ и $V$ Вы там понимали не пространства матриц, а пространства векторов-столбцов? Тогда нужно перейти от матриц $X$ и $H$ к их аналогам в виде столбцов. Затем записать матрицу преобразования. Таким образом последовательность действий при преобразовании $X$ в $H$ такова: преобразовать $X$ в вектор-столбец, подействовать на него матрицей $A$, затем преобразовать получившийся столбец в матрицу типа $H$. Вы это имеете ввиду?

[Kallikanzarid]

ShMaxG в сообщении #470814 писал(а):

Я так понимаю, под пространствами $U$ и $V$ Вы там понимали не пространства матриц, а пространства векторов-столбцов?

А есть разница?

[ShMaxG]

Если $U$ и $V$ -- пространства тех самых матриц, тогда тривиально получаем $\[A{e_i} = {\hat e_i}\]$. Элементы матрицы А следует искать из того, что $\[A{e_i} = {\hat e_i} = \sum\limits_{j = 1}^{12} {A_i^j{{\hat e}_j}} \]$. Очевидно, что $\[A_i^j = \left\{ \begin{gathered} 1,i = j \hfill \\ 0,i \ne j \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$. Я думал, это называется единичной матрицей, разве нет?

[Kallikanzarid]

ShMaxG в сообщении #470833 писал(а):

Если $U$ и $V$ -- пространства тех самых матриц, тогда тривиально получаем $\[A{e_i} = {\hat e_i}\]$. Элементы матрицы А следует искать из того, что $\[A{e_i} = {\hat e_i} = \sum\limits_{j = 1}^{12} {A_i^j{{\hat e}_j}} \]$. Очевидно, что $\[A_i^j = \left\{ \begin{gathered} 1,i = j \hfill \\ 0,i \ne j \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$. Я думал, это называется единичной матрицей, разве нет?

Да, вы правы

[ShMaxG]

Если последовательность правильных действий все же подразумевается той, что я описал выше, то становится грустно. Дело в том, что подобрать матрицы $M_1$, $N_1$, $M_2$ и $N_2$ такие, что $H = M_1XN_1 + M_2XN_2$ не составляет большого труда, в общем-то, несколько минут времени займет. Другое дело, что я не знаю, существуют ли такие матрицы $M$ и $N$, что $H=MXN$.

[Circiter]

ShMaxG писал(а):

Дело в том, что подобрать матрицы $M_1$, $N_1$, $M_2$ и $N_2$ такие, что $H=M_1XN_1+M_2XN_2$ не составляет большого труда

Действительно, у меня вот это получилось (не уверен, что правильно, но принцип тот-же):

$$H=\left[\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array}\right]X\left[\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1\\ 0&0\\ 0&0 \end{array}\right]+ \left[\begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{array}\right]X\left[\begin{array}{cc} 0&0\\ 0&0\\ 1&0\\ 0&1 \end{array}\right].$$

А вот для $H=MXN$ ничего в голову не приходит. :)

[ewert]

Circiter в сообщении #471980 писал(а):

А вот для $H=MXN$ ничего в голову не приходит. :)

И не придёт в принципе. Дело в том, что на входе мы имеем двенадцатимерное пространство матриц, и на выходе должно получиться тоже двенадцтимерное. Но уже

$X\cdot N=\begin{pmatrix}*&*&*&*\\ *&*&*&*\\ *&*&*&*\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}*&*\\ *&*\\ *&*\\ *&*\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}*&*\\ *&*\\ *&*\end{pmatrix}\cdot$

-- не более чем шестимерно.

[Circiter]

2ewert
Простите, не понял. Подобрав $M$ и $N$ можно получить $H=MXN$ любой желаемой размерности. Т.е., если $X\in\mathbb{R}^{m\times n}$, то можно наперед задать $p$ и $r$ такие, что $M\in\mathbb{R}^{p\times m}$, $N\in\mathbb{R}^{n\times r}$ и, таким образом, $MX\in\mathbb{R}^{p\times n}$, $MXN\in\mathbb{R}^{p\times r}$. Я думал, здесь дело не в размерностях, а в существовании экзотических "перестановочных" матриц, которые бы могли, грубо говоря, в разных строках переставлять разные столбцы... /* ну и сказанул, сам разобрать не могу теперь, что написал... :) */