"Парадокс" - помогите найти ошибку

[Someone]

viatore в сообщении #468420 писал(а):

то же что в разделе statement
при их А = моему Х
их Б = моему А
их фи = моему $x\in X\setminus A$

Ничего не понял. Нельзя ли, никуда не ссылаясь, выписать формальное определение?

[ewert]

А можно, я опять по-сермяжному?...

Невозможно определять какое-либо мн-во, исходя из его самого. Следовательно, та залихватская формулка -- может быть не более чем свойством множества. Которое может или выполняться, или нет. Ну так оно и не выполняется никогда, кроме одного тривиального случая.

Так и не понял, об чём речь.

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #468484 писал(а):

Невозможно определять какое-либо мн-во, исходя из его самого.

Почему? Теория множеств - аксиоматическая теория, если бы axiom schema of comprehension до сих пор была бы в ходу, то в определении множества таким образом не было бы проблем.

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #468531 писал(а):

Теория множеств - аксиоматическая теория,

Аксиоматические определения, конечно, бывают. Но откуда следует, что любой наугад выбранный набор аксиом должен оказаться непротиворечивым? Противоречие же само по себе -- это ещё не парадокс; это просто противоречие.

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #468568 писал(а):

Аксиоматические определения, конечно, бывают. Но откуда следует, что любой наугад выбранный набор аксиом должен оказаться непротиворечивым?

Ну вот axiom scheme of comprehension и оказалась плохой схемой, ее заменили на схему выделения :)

[viatore]

Kallikanzarid

Цитата:

"Note that B is not a free variable."

ну да - она припечатана квантором существования?
так и пусть. меня устроит утверждение "существует такое А, что..."
или я чего-то не понимаю?

вот берем мою самую первую фразу самого первого поста
"Пусть $X$-мн-во. Рассмотрим "подмножество" $A\subset X: A=\{x\ |\ x\in X\setminus A\}$."
и заменяем слово "рассмотрим" на слово "существует" и добавляем как требуется в определение А условие $x\in X$
получим
$\forall X\ \exists A\forall x: (x\in A)\Leftrightarrow ((x\in X\setminus A)\&(x\in X)\})$."
разве не получается в точности схема выделения?

-- Сб июл 16, 2011 16:07:37 --

Someone

Цитата:

Ничего не понял. Нельзя ли, никуда не ссылаясь, выписать формальное определение?

не, лениво, оно длинное. по ссылке "схема выделения". лучше сразу на английскую потом переключить - там больше и понятней

Цитата:

Ну вот axiom scheme of comprehension и оказалась плохой схемой, ее заменили на схему выделения :)

как-то я этот исторический момент проворонил
вот и возникают теперь странные вопросы :)

-- Сб июл 16, 2011 16:18:47 --

ewert
проблема вот в чем
я вроде бы ничего не нарушая ОПРЕДЕЛИЛ множество
(пока не могу понять что конкретно мешает мне его так определять. аксиомы о том, что в определении я не могу использовать само множество - нет (ну я не знаю по крайней мере))
так что определять вроде так могу.
а уж коли определил и это МНОЖЕСТВО, то получилась котовасия
я пока предполагаю дырку не в том, что нельзя так определять, а в том, что получившееся - не множество

[Kallikanzarid]

viatore в сообщении #468919 писал(а):

$\forall X\ \exists A\forall x: (x\in A)\Leftrightarrow ((x\in X\setminus A)\&(x\in X)\})$."
разве не получается в точности схема выделения?

В вашем предикате используется определяемое множество, однако его нет среди свободных переменных, от которых допустима зависимость предиката в схеме выделения.

[Jnrty]

viatore в сообщении #468919 писал(а):

"Пусть $X$-мн-во. Рассмотрим "подмножество" $A\subset X: A=\{x\ |\ x\in X\setminus A\}$."
и заменяем слово "рассмотрим" на слово "существует" и добавляем как требуется в определение А условие $x\in X$
получим
$\forall X\ \exists A\forall x: (x\in A)\Leftrightarrow ((x\in X\setminus A)\&(x\in X)\})$."
разве не получается в точности схема выделения?

Нет, не получается. Схема выделения формулируется так (К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970, глава II, § 2):
Пусть переменная $B$ не встречается в высказывательной функции $\Phi$. Тогда

$$\exists B\forall x((x\in B)\Leftrightarrow((x\in A)\&\Phi(x))).$$

У Вас же переменная $A$ встречается в высказывательной функции $\Phi(x)=x\in X\setminus A$. Поэтому к схеме выделения Ваша формула отношения не имеет (и это Вам уже объясняли). Если Вы и дальше будете повторять своё "определение", игнорируя разъяснения, то я Вас заблокирую за троллинг.

viatore в сообщении #468043 писал(а):

итак, схема выделения - это корректный способ образовывать подмножества:
$\forall A \exists B\forall x (x\in B\Leftrightarrow (x\in A \& \phi(x,A)))$
подставим мой кривой предикат $\phi(x,A)=x\in X\setminus A$ (это ведь предикат?)

Предикат, и совершенно не "кривой".

viatore в сообщении #468043 писал(а):

получим
$\forall A \exists B\forall x (x\in B\Leftrightarrow (x\in A \& x\in X\setminus A))$
здесь ясно видно, что это $B=\varnothing$

Ну да, это корректное определение множества $B$.

viatore в сообщении #468043 писал(а):

если я рассматриваю unrestricted версию - как Рассел т.е. без условия $(x\in A)$ в правой части рядом с предикатом, то начинаются чудеса.

Да никаких чудес: $\exists B\forall x (x\in B\Leftrightarrow (x\in X\setminus A))$ - корректное определение множества $B=X\setminus A$. И "версия" совершенно "restricted".

viatore в сообщении #468919 писал(а):

не, лениво, оно длинное. по ссылке "схема выделения". лучше сразу на английскую потом переключить - там больше и понятней

Тем не менее, по правилам форума Вы обязаны это сделать. Если в ближайшее время (скажем, около пары суток) требуемое определение множества $A$, точно соответствующее схеме выделения, не появится, тема переедет в Пургаторий.