"Парадокс" - помогите найти ошибку

[ewert]

viatore в сообщении #467728 писал(а):

полученное противоречие доказывает, что А-не множество

Оно никак не может этого доказывать. Просто потому, что понятия "подмножества, не являющегося подмножеством" (а речь шла о сугубо подмножествах, и никаких закидонах) -- попросту не существует.

viatore в сообщении #467728 писал(а):

я в курсе, что у него тоже вылез парадокс.

У него-то вылез. А вот у Вас вылез никакой не парадокс, а попросту непонимание того, что есть утверждение.

Ладно. Вы вполне честно доказали следующее утверждение:

"Если множество не пусто, то никакое его подмножество не совпадает с его дополнением".

Или, что эквивалентно:

"Если некоторое подмножество совпадает со своим дополнением, то объемлющее множество пусто."

Вот и всё. Сплошная банальщина, и никаких парадоксов.

[viatore]

Kallikanzarid
спасибо, вот что вышло
с предикатом $b\in X\setminus A$:
$\forall A \exists C \forall b ((b\in C)\rightarrow (b\in A \& b\in X\setminus A))$
выберем $C=\varnothing$ и все будет в норме

Someone

Цитата:

Ваше условие само себе противоречит

еще раз:
стандартными средствами определяю множество
(себя как элемент оно не содержит, стало быть согласно аксиоматике это -- множество)
если это множество, то оно ни пустое, ни не пустое
противоречие
стало быть то что я определил -- не множество
выходит, что не все, что определяется стандартными средствами определения множества есть множество
и уточнений Рассела не достаточно
стало быть нужны новые уточнения понятия множество?

Цитата:

Вообще, Ваше высказывание ужасно безграмотное. Во-первых, речь идёт не о сфере, а о шаре, на что Вам уже указывали. Во-вторых, это не разбиение шара на два шара, а разбиение шара на несколько частей, из которых можно "сложить" два таких же шара.

к чему это? все кому нужно поняли что я говорю о парадоксе Банаха — Тарского. я вам экзамен не сдаю, успокойтесь :)
если принять аксиому выбора - имеем этот парадокс.. скажем так крайне неестественный факт
если не принимать эту аксиому - насколько мне известно доказательства удвоения шара не существует

vek88
с удовольствием почитаю

ewert

Цитата:

Просто потому, что понятия "подмножества, не являющегося подмножеством" (а речь шла о сугубо подмножествах, и никаких закидонах) -- попросту не существует

класс.. этого не может быть, потому что этого не может быть никогда

[Someone]

viatore в сообщении #467803 писал(а):

с предикатом $b\in X\setminus A$:
$\forall A \exists C \forall b ((b\in C)\rightarrow (b\in A \& b\in X\setminus A))$
выберем $C=\varnothing$ и все будет в норме

Не угадали. Разумеется, написанное Вами высказывание истинно в ZFC, так как можно взять $C=\varnothing$. Но это не имеет ни малейшего отношения к написанному Вами равенству $A=X\setminus A$ (поскольку по определению $X\setminus A=\{x:(x\in X)\&(x\notin A)$).

viatore в сообщении #467803 писал(а):

(себя как элемент оно не содержит, стало быть согласно аксиоматике это -- множество)

Да начхать, содержит или не содержит. Теорию множеств можно нормально развивать без аксиомы регулярности (я даже могу указать книгу, в которой это сделано).

viatore в сообщении #467803 писал(а):

если принять аксиому выбора - имеем этот парадокс.. скажем так крайне неестественный факт
если не принимать эту аксиому - насколько мне известно доказательства удвоения шара не существует

Пускай доказательства не существует. Это не означает, что такой фокус невозможен. Да просто возьмите модель ZFC. Она является и моделью ZF. И пожалуйста: аксиомы выбора нет, а "парадокс" Банаха - Тарского - в наличии.

viatore в сообщении #467803 писал(а):

стандартными средствами определяю множество
(себя как элемент оно не содержит, стало быть согласно аксиоматике это -- множество)
если это множество, то оно ни пустое, ни не пустое
противоречие
стало быть то что я определил -- не множество
выходит, что не все, что определяется стандартными средствами определения множества есть множество
и уточнений Рассела не достаточно
стало быть нужны новые уточнения понятия множество?

У Вас мания величия?

viatore в сообщении #467803 писал(а):

стандартными средствами определяю множество

Стандартное определение (со ссылкой на аксиому выделения) определяет множество $\{x:\varphi(x,X,A)\}$, где $\varphi(x,X,A)=(x\in X)\&(\neg(x\in A))$, $x$ - свободная переменная, $X$ и $A$ - параметры, вместо которых подставляются некоторые множества (точнее, их имена, но пока не обязательно педантствовать до такой степени).
А написанное Вами равенство $A=\{x:\varphi(x,X,A)\}$ - это утверждение, которое надо доказать. Вы же его постулируете, и при $X\neq\varnothing$ получаете противоречие, поскольку это утверждение в расшифрованном виде выглядит так: $\forall x((x\in A)\Leftrightarrow((x\in X)\&(\neg(x\in A))))$. Это я и имел в виду, когда писал, что Вы формулируете условие, которое само себе противоречит, и потому ничего не определяет.
Чтобы Вы имели право говорить о том, что определяете (под)множество $A\subseteq X$ "стандартными средствами", перепишите свое определение "$A=\ldots$" так, чтобы в правой части не упоминалось множество $A$.

viatore в сообщении #467803 писал(а):

класс.. этого не может быть, потому что этого не может быть никогда

Вы полагаете, что высказывание идиотских возражений прибавит Вам здесь авторитета?

[Kallikanzarid]

viatore в сообщении #467803 писал(а):

спасибо, вот что вышло
с предикатом $b\in X\setminus A$:
$\forall A \exists C \forall b ((b\in C)\rightarrow (b\in A \& b\in X\setminus A))$
выберем $C=\varnothing$ и все будет в норме

Не-а :) Вы не можете использовать в предикате $A$, так как в схеме выделения конструируемое множество - не свободная переменная, а переменная с предикатом существования. Но да, даже если бы вы могли использовать $A$ в предикате, вы бы всего лишь получили пустое множество.

[viatore]

Цитата:

Но это не имеет ни малейшего отношения к написанному Вами равенству (поскольку по определению ).

да ну и что же
пусть я даже определю $A=X\setminus A$
аксиоматика теории множеств вроде бы не запрещает мне рассмотреть такое множество
проблема в том что оно ни пусто ни не пустое

Цитата:

Теорию множеств можно нормально развивать без аксиомы регулярности

теорию множеств можно развивать без чего угодно. что только получится..
давайте ссылочку, познакомлюсь

Цитата:

У Вас мания величия?

у меня вопрос, если вы не заметили

Цитата:

Вы полагаете, что высказывание идиотских возражений прибавит Вам здесь авторитета?

повторюсь - будьте внимательнее
меня интересует вопрос о котором я написал, авторитет - ни в малейшей степени
однако если вы добиваетесь тут авторитета, то хамство - это неудачный способ

Kallikanzarid
т.е. получается, что схема выделения гарантирует нам, что всякий "хорошо" определенный подкласс множества - это множество
в данном случае "хорошо" - значит без использования А в части предиката
а раз я использую А, значит схема выделения разводит руками и не обещает, что получится множество? верно?

[Kallikanzarid]

viatore в сообщении #467872 писал(а):

т.е. получается, что схема выделения гарантирует нам, что всякий "хорошо" определенный подкласс множества

Разве не любой подкласс множества - множество? Я с NBG знаком мало, но вроде бы оно так было. У вас просто данный предикат не определяет никакого множества, ибо restricted comprehension :) А сама схема гарантирует, что каждый "хороший" предикат определяет некоторое ($\exists$) подмножество для любого исходного множества. Если предикат нехороший, то, вообще говоря, не определяет :)

ewert в сообщении #467792 писал(а):

У него-то вылез. А вот у Вас вылез никакой не парадокс, а попросту непонимание того, что есть утверждение.

Ладно. Вы вполне честно доказали следующее утверждение:

"Если множество не пусто, то никакое его подмножество не совпадает с его дополнением".

Или, что эквивалентно:

"Если некоторое подмножество совпадает со своим дополнением, то объемлющее множество пусто."

Вот и всё. Сплошная банальщина, и никаких парадоксов.

Вы ошибаетесь: смысл данного парадокса - в том, чтобы для любого множества $X$ сконструировать множество $A$ такое, что по построению $A = X - A$, и таким образом доказать, что существует лишь пустое множество. Причина, по которой он запрещен - в ограничениях схемы выделения в ZF.

[Someone]

viatore в сообщении #467872 писал(а):

пусть я даже определю $A=X\setminus A$
аксиоматика теории множеств вроде бы не запрещает мне рассмотреть такое множество

Вы пока не сформулировали определения, соответствующего схеме аксиом выделения. Когда сформулируете - появится предмет для разговора.

Вы, конечно, можете дать определение типа "подмножество $A$ множества $X$ называется самодополнительным, если $X\setminus A=A$, но тогда Вы не можете воспользоваться самодополнительным подмножеством, пока не докажете его существования для непустого $X$, потому что аксиомы ZFC не обеспечивают автоматически существование всего, что можно определить подобным образом.

viatore в сообщении #467872 писал(а):

у меня вопрос, если вы не заметили

Нет, не заметил. Зато вот - прямым текстом:

viatore в сообщении #467803 писал(а):

стало быть то что я определил -- не множество
выходит, что не все, что определяется стандартными средствами определения множества есть множество
и уточнений Рассела не достаточно

Вы пока ничего не определили, а уже собрались пересматривать теорию множеств (и не говорите, что я не заметил знака вопроса в конце Вашего предложения, я его заметил).

viatore в сообщении #467872 писал(а):

теорию множеств можно развивать без чего угодно. что только получится..

Что получится, то и получится. Но без аксиомы регулярности получается почти всё, что и в ZFC. Только часто более громоздким путём.

К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #467881 писал(а):

смысл данного парадокса - в том, чтобы для любого множества сконструировать множество

При чём тут конструирование?... Фраза $A=\overline A$ -- это никакое не конструирование, а требование, предъявляемое к множеству. Которое может (в принципе) выполняться, а может и нет.

[viatore]

Цитата:

Разве не любой подкласс множества - множество? Я с NBG знаком мало, но вроде бы оно так было. У вас просто данный предикат не определяет никакого множества, ибо restricted comprehension :)

ага, вот я кажется начинаю понимать
итак, схема выделения - это корректный способ образовывать подмножества:
$\forall A \exists B\forall x (x\in B\Leftrightarrow (x\in A \& \phi(x,A)))$
подставим мой кривой предикат $\phi(x,A)=x\in X\setminus A$ (это ведь предикат?)
получим
$\forall A \exists B\forall x (x\in B\Leftrightarrow (x\in A \& x\in X\setminus A))$
здесь ясно видно, что это $B=\varnothing$
если я рассматриваю unrestricted версию - как Рассел т.е. без условия $(x\in A)$ в правой части рядом с предикатом, то начинаются чудеса..
и если я делаю так, то схема выделения не обещает что у меня вообще получится множество
т.е. выделение подкласса по unrestricted схеме не гарантирует, что выделенное - это множество..

т.е. предикат-то у меня хороший - просто схема unrestricted оказалась

ewert
вроде бы все разрешилось см. выше..


Кстати, вот еще вопрос - пишут, что Рассел придумал парадокс брадобрея, чтобы продемонстрировать парадокс с множествами, не содержащими себя в качестве своего элемента. я что-то никак не могу сформулировать парадокс брадобрея в строгой форме парадокса Рассела. кто-то может написать?

[vek88]

viatore

Выполнил свое обещание - рассмотрел Ваш пример в своей теме - см. post468115.html#p468115

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #467993 писал(а):

При чём тут конструирование?...

$A = \{x \in X \mid x \not\in A\}$ - это comprehension.

-- Чт июл 14, 2011 10:21:39 --

viatore в сообщении #468043 писал(а):

подставим мой кривой предикат $\phi(x,A)=x\in X\setminus A$ (это ведь предикат?)

Он содержит конструируемое множество как свободную переменную, а это в схеме выделения это no-no :)

[viatore]

Kallikanzarid

Цитата:

Он содержит конструируемое множество как свободную переменную, а это в схеме выделения это no-no :)

а почему свободную? по мне у меня написано в точности то же что и тут:
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_sche ... cification
в разделе Statement
все w выкинем, $\phi=x\in X\setminus A$ - здесь вроде А не свободна...
прихлопнута в начале утверждения квантором $\forall$..

[Someone]

viatore в сообщении #468193 писал(а):

а почему свободную? по мне у меня написано в точности то же что и тут:
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_sche ... cification

Где именно у Вас написано "то же самое" и какое множество там определяется?

[viatore]

то же что в разделе statement
при их А = моему Х
их Б = моему А
их фи = моему $x\in X\setminus A$

[Kallikanzarid]

viatore в сообщении #468420 писал(а):

то же что в разделе statement
при их А = моему Х
их Б = моему А
их фи = моему $x\in X\setminus A$

"Note that B is not a free variable."