Запутанные состояния, нелокальность и КМ

[AlexDem]

Отделил в отдельную тему // Аурелиано

Если теория нелокальна, то вселенная до процесса взаимодействия и после - неизоморфны.

Клиффорд "Алгебраическая теория полугрупп I": отображение $\varphi$ группоида $S$ в $S'$ называется гомоморфизмом, если $(ab)\varphi = (a\varphi)(b\varphi)$ для всех $a, b \in S$.

Насколько я знаю, измерение в Квантовой Механике есть оператор $\varphi$ над множеством $S$ функций состояний. Если систему $c$ разбить на две пространственно-разделенные подсистемы $a$ и $b$ - получаем доказательство моего утверждения.

Так что нелокальная теория влечет вот такие вот последствия... Вроде не ошибся?
Сдается мне, что это не только у PSP, а и у квантовой механики проблемы с ее запутанными состояниями

========================

Я исхожу из того, что каждое состояние $a, b, c$ задается матрицей плотности вероятностей. Поэтому $c = ab$ следует трактовать как произведение матриц, а оператор измерения $\varphi$ - это возведение в квадрат (вроде не наврал). Очевидно, что в общем случае $(ab)\varphi \ne (a\varphi)(b\varphi)$.

Основная идея в том, что система в запутанном состоянии не эквивалентна двум подсистемам в факторизованных состояниях. Попозже попробую это выразить в терминах КМ.


Правка: перенес сообщения из Обратная задача теоретической физики..

[AlexDem]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

А что такое $ab$?

Буду основываться на следующей литературе:
[1] Фейнмановские лекции по физике "Квантовая механика" (т.8 и т.9)
[2] Ландау, Лифшиц "Квантовая механика" (т.3)
[3] Менский "Квантовая механика. Новая формулировка старых вопросов"
[4] Грин "Матричная квантовая механика".

Чтобы не путаться:

Определение 1
Квантово-механическая система находится в чистом состоянии, если оно характеризуется определенной волновой функцией, то есть представимо в виде вектора состояний. Любая изолированная замкнутая система как целое всегда находится в чистом состоянии.

Определение 2
Запутанное (entangled) состояние характеризует подсистему, находящуюся в в суперпозиции состояний с остальной системой. Запутанное состояние не представимо в виде вектора, а только в виде матрицы вероятностей.

Определение 3
Измерение - это оператор $\varphi$. Здесь я не нашел точного определения, буду полагать, что это оператор возведения в квадрат (подробнее можно посмотреть [3] "3.2. Усиление квантовой суперпозиции", или [4], но там все очень запутано).

Любой вектор состояний $\bar a$ представим в виде эрмитовой матрицы вероятностей $a$ в виде: $a_{ij} = \bar a_i \cdot \bar a_j^*$. То есть, эрмитова матрица характеризует чистое состояние и обладает свойством $a^2 = a$ (См. [2] "14. Матрица плотности").

Матрица любой системы представима в виде произведения матриц ее подсистем, то есть запись: $c = ab$ означает, что система $c$ состоит из подсистем $a$ и $b$ (См. [1] "1. Законы композиции амплитуд").

Таким образом, матрица полной системы $c = ab$ - эрмитова, а матрицы $a$ и $b$ - нет, поэтому $a^2 \ne a$ и $b^2 \ne b$. Поэтому в общем случае $c^2 \ne a^2 b^2$. Это выражается в том, что если измерение проводится так, что становится ясно - какая из подсистем в каком состоянии находится, то запутанность этих подсистем разрушается (происходит декогеренция). Если же измерение производится над системой в целом без получения информации о подсистемах, то запутанность остается.

В качестве примера можно использовать квантовый компьютер - его мощность растет экспоненциально с ростом числа кубитов. Очевидно, что в этом случае система в целом обладает большим числом степеней свободы, чем композиция ее подсистем.

Вообще, было бы идеально спросить специалистов, но у меня таких знакомых нет

PSP писал(а):

Этого достаточно ,если предпологать верной стандартную СТО.

Да, Вы, похоже, правы. Но в таком случае электрон у Вас делим - если мы произведем операцию над одной его половиной и над другой, должно получиться то же самое, что и в случае операции над целым электроном. Впрочем, возможно, я не все понял в Вашей теории (а именно - что понимается под нелокальностью)...

[Котофеич]

А почему в КМ волновая функция отдельно взятой частицы, всегда f(x), а не f(x,p) Я имел в виду, что возможно обычное описание возможно является существенно неполным Ну типа того,что отцы основатели КМ малость обшиблись, а потом в силу традиций эта ошибка стала незаметной. Например когда мы исследуем броуновскую частицу то ищем
всегда плотность вероятности f(x,p), а если захочим, то плотность f(x),получаем в результате интегрирования по переменной р. Почему квантовые частицы так сильно обижены, мне их жалко

[AlexDem]

Котофеич писал(а):

Ну типа того,что отцы основатели КМ малость обшиблись, а потом в силу традиций эта ошибка стала незаметной.

Вряд ли ошиблись - их было много . Но вот с пониманием, похоже, проблемы. По этому поводу мне интересно было почитать Фейнмановские лекции по физике, т.3 "Излучение, волны, кванты", глава 37 "Квантовое поведение", параграф 6 "Как проследить за электроном?". Но, думаю, Вы читали

AlexDem писал(а):

было бы идеально спросить специалистов, но у меня таких знакомых нет

Кстати, у Вас таких знакомых нет?..

[Котофеич]

Ну так уж и много От силы с десяток наберется, а если брать только одних ноблевских лауреатов, то и того меньше. Остальные это так себе, мелочь пузатая Квантовая механика это самая обычная теория марковских случайных процессов с комплексной плотностью вероятности или как говорят физики волновой функцией. Просто в те далекие времена еще не было общей теории случайных процессов и великим физикам пришлось самим разрабатывать мат.аппарат.Вот и обшиблись. Обратите внимание, что в стат физике они всегда применяли готовый стандартный аппарат теории марковских процессов и по этому не обшиблись.

[AlexDem]

Если бы это была статфизика, запутанных состояний бы не было.

[Котофеич]

Я имю в виду квантовую статфизику. В конце прошлого века это дело с запутанными состояниями, начало подвергаться коренному пересмотру.
http://www.vestnik.udsu.ru/2006/2006-04 ... _04_01.pdf
Потом мне нужно знать вероятность попадания квантовой частицы в заданну область
фазового пространства (X,P) Вот и предоставьте коту такую возможность, а то
я начну протестовать

[AlexDem]

Последний день - работать лень, неделя длинная была... Котофеич, я подумаю над Вашим вопросом, а Вы пока можете попротестовать - желательно по теме ветки. Если у Вас найдется еще литература по КМ (лучше бы правила и примеры задания матриц, и желательно - на русском для большего просветления ), не стесняйтесь выложить ее здесь или здесь

[AlexDem]

Котофеич писал(а):

Я имю в виду квантовую статфизику. В конце прошлого века это дело с запутанными состояниями, начало подвергаться коренному пересмотру.

Что-то не представляю, как можно с помощью статфизики, пусть квантовой, объяснить вот такой или такой опыт. В указанной статье (http://www.vestnik.udsu.ru/2006/2006-04/vuu_06_04_01.pdf) авторы как-то странно отзываются об ЭПР-парадоксе и неравенствах Белла:

Цитата:

В частности, неравенства Белла вряд ли заслуживают столь частого их анализа в современных дискуссиях именно потому, что в сложившемся аппарате квантовой механики в них нет никакой необходимости. Если бы неравенства Белла все же выполнялись, то это означало бы не просто непривычность, а какую-то полную алогичность квантового мира, чего, к счастью, не случилось.

- по сути предлагая не обращать на них внимания, хотя эти неравенства как раз и указывают на полноту формализма КМ и отсутствие локальных скрытых параметров. Если же скрытые параметры и взаимодействия нелокальны, то справедливо утверждение, высказанное мной выше (я по-прежнему не вижу в нем ошибки, и, похоже, теория струн под него тоже подпадает, хотя я о ней почти ничего не знаю, но вот тут говорят, что взаимодействие в ней нелокально). Вместо этого авторы предлагают довольно странную ассоциацию, обоснования которой в статье я не нашёл:

Цитата:

Переход из микромира в макромир, образно выражаясь, можно представить в виде узкого горлышка бутылки, через которое из емкого в информационном отношении микромира в наш макромир может просочиться только очень малая часть информации, притом относящаяся к судьбе только самих макрообъектов.

- хотя и считаю, что в какой-то мере это может иметь место, поскольку все измерения имеют дело с амплитудой вероятности, отбрасывая фазу. То есть информация может действительно "теряться" в том смысле, что если бы мы каким-то образом померяли и фазу, то квантовая система перешла бы в иное, чем после измерения только амплитуды, состояние.

Если я всё правильно понял, то авторы утверждают, что любая квантовая система сама собой приходит в чистое состояние спустя некоторое время эволюции в силу предполагаемой нелинейности уравнений (хотя тут же идет отсылка к неким непонятным "космическим факторам"). Но как тогда объяснить явления сверхпроводимости, когда по предположению в кольце может циркулировать суперпозиция встречных токов? Причем это состояние устойчиво и не разрушается с течением времени. Получается, что предлагаемый формализм имеет строго ограниченную область применения и изначально более узок, чем формализм КМ.

Мне ближе подход, которого придерживается Менский, связывая декогеренцию с запутыванием состояния исходной системы с её окружением, тем более, что усилия по изоляции квантовой системы от окружения не проходят даром - декогеренция уменьшается, что было бы невозможно, если бы она была обусловлена внутренней нелинейностью системы. В любом случае, на коренной пересмотр приведенная работа Антонова и Кондратьева не похожа.

Котофеич писал(а):

Потом мне нужно знать вероятность попадания квантовой частицы в заданную область фазового пространства (X,P)!

Думаю, если составить оператор, измеряющий сразу координату и импульс, то с помощью него можно будет посчитать эти вероятности - это следует из наблюдаемости треков в камере Вильсона. Проблема существует, только если нам нужно знать оба значения точно - это невозможно. Просто у меня нет достаточно литературы по этому вопросу, поэтому посчитать это самому мне сейчас трудно.

Котофеич писал(а):

А почему в КМ волновая функция отдельно взятой частицы, всегда f(x), а не f(x,p)? Я имел в виду, что возможно обычное описание возможно является существенно неполным?

Скрытых параметров вроде нет, так что, скорее всего, оно полно. На вопрос "почему" я точного ответа пока дать не могу. Но если мы не можем померять две величины, то, скорее всего, их там и нет.

[Yuri Gendelman]

AlexDem писал(а):

Вместо этого авторы предлагают довольно странную ассоциацию, обоснования которой в статье я не нашёл:

Цитата:

Переход из микромира в макромир, образно выражаясь, можно представить в виде узкого горлышка бутылки, через которое из емкого в информационном отношении микромира в наш макромир может просочиться только очень малая часть информации, притом относящаяся к судьбе только самих макрообъектов.

- хотя и считаю, что в какой-то мере это может иметь место, поскольку все измерения имеют дело с амплитудой вероятности, отбрасывая фазу. То есть информация может действительно "теряться" в том смысле, что если бы мы каким-то образом померяли и фазу, то квантовая система перешла бы в иное, чем после измерения только амплитуды, состояние.

Подчеркнутая фраза в приведенной Вами цитате напомнила мне об одной старой статье.
В 60-е или 70-е годы была высказана идея о применимости понятия Колмогоровской теории информационной емкости пространств к анализу физических теорий. Звучало это примерно так ($\epsilon $ - малый параметр, задающий $\epsilon $-покрытие):
- Состояние частицы в классической механике описывается точкрй в фазовом пространстве. Информационная емкость такого пространства имеет порядок $\log ( 1 / \epsilon ) $.
- Состояние частицы в квантовой механике описывается волновой функцией. Информационная емкость такого пространства имеет порядок $ ( 1 / \epsilon ) $.
То есть описание квантовой частицы принципиально несводимо к классической механике. Ссылки не помню, статья была на русском, о каком-либо дальнейшем развитии этой идеи мне не известно.

[Котофеич]

Совместная плотность распределения импульса и координаты f(x,p) может быть легко
построена в рамках фейнмановского формализма, интегрирования по траекториям

[AlexDem]

Yuri Gendelman писал(а):

В 60-е или 70-е годы была высказана идея о применимости понятия Колмогоровской теории информационной емкости пространств к анализу физических теорий

Спасибо, но что-то найти эту статью мне не удалось. Может попозже найдется...

Котофеич писал(а):

Совместная плотность распределения импульса и координаты может быть легко построена в рамках фейнмановского формализма, интегрирования по траекториям

Да, в его лекциях как раз рассматриваются этот подход (недостаточно подробно - надо разбираться), но сути дела это не меняет, и о статфизике речи не идёт.

[Котофеич]

Ну да, еще как меняет

[AlexDem]

Ну а как меняет?

[Борис Лейкин]

Извините, я просто хотел спросить?
Случайно, вот, нашёл статью такую:
http://arxiv.org/abs/math-ph/0002049
R. F. Streater
Classical and Quantum Probability
We survey the development of probability from 1900, starting with Bachelier's theory of speculation. Fisher information appears in the theory of estimation. We touch on Brownian motion, and the Wiener integral. The Ito calculus, and its relation to to the heat equation, is mentioned. Quantum theory is introduced as a generalisation of probability, rather than of mechanics. The weakness of attempts to describe quantum theory in terms of hidden variables is explained, by a simple proof of Bell's inequality.
Quantum versions of the Langevin equation are discussed, and the theory of continuous tensor products is used to give a possible quantum version. The quantum stochastic calculus of Barnett, Wilde and the author, as well as that of Parthasarathy and Hudson, is introduced.

Единственное, что я понял из статьи (пытался понять, но всё время засыпал ), автор говорит, что квантовая теория - это просто обобщение теории вероятностей (Потом я читал ещё Фейнмана про Симулейтинг физикс виф компьютерс, он там говорит про отрицательную вероятность, кажется (или это мне приснилось).
Дак вот, к чему это я, не связана ли эта запутанность как-то с вот этим обобщением, т.е. она есть просто следствие вот этой самой математики (обобщённой теории вероятностей)?
(Если я не в тему, то просто проигнорируйте это сообщение. Заодно тогда ещё уж спрошу у вас премногоуважаемые форумчане, не знаете, бывает ли комплексная вероятность?)