Grading?

[type2b]

$K$ должно быть нормальной подгруппой, чтобы $G/K$ было группой. Вам этого не надо, $G/K$ может быть просто многообразием, поэтому $K$ может не быть нормальной.

[Bulinator]

Понятно. Т.е. единственное условие- это чтобы существовало расслоение $G$ над $K$ как многообразия.

[type2b]

Никаких условий нет. Если G -- группа Ли, K -- ее подгруппа, являющаяся группой Ли, то G/K -- хорошее многообразие. При этом автоматически G есть главное K-расслоение над G/K (а не над K!).

[Bulinator]

(Оффтоп)

Прошу прощение за долгое отсутствие. Все выходные был занят тем, что активно не курил. Сегодня уже подаю признаки социальности )))

Рассмотрим алгебру $\mathfrak{n}$ $n\times n$(не путать $n$ с $\mathfrak{n}$) матриц у которых все элементы, находящиеся ниже диагонали равны нулю включая и саму диагональ.
Легко проверить, что если

$$A=\left(\begin{array}{ccccc}0 & a_{1,2} & a_{1,3} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & 0 & a_{2,3} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots &\ldots& \ldots &\ldots&\ldots \\ 0 & 0 & \ldots & \ldots & a_{n-1,n}\\ 0 & 0 &\ldots &\ldots &0 \end{array}\right),\qquad B=\left(\begin{array}{ccccc}0 & b_{1,2} & b_{1,3} & \ldots & b_{1n}\\ 0 & 0 & b_{2,3} & \ldots & b_{2n} \\ \ldots &\ldots& \ldots &\ldots&\ldots \\ 0 & 0 & \ldots & \ldots & b_{n-1,n}\\ 0 & 0 &\ldots &\ldots &0 \end{array}\right)$$

то

$$[A,B]=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & c_{1,3} & \ldots & c_{1n}\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & c_{2n} \\ \ldots &\ldots& \ldots &\ldots&\ldots \\ 0 & 0 & \ldots & \ldots & 0\\ 0 & 0 &\ldots &\ldots &0 \end{array}\right),$$

т.е. $ad_{\mathfrak n}{\mathfrak n}$- множество всех матриц, у которых "нулевая диагональ смещена вверх". Таким же образом убеждаемся, что $ad_{\mathfrak n}^2{\mathfrak n}$ поднимает эту "диагональ" еще на ступеньку выше, и.т.д. Таким образром $ad_{\mathfrak{n}}^n\mathfrak{n}=0$.
Чтобы получить факторалгебру $ad_{\mathfrak{n}}^k\mathfrak{n}/ad_{\mathfrak{n}}^{k+1}\mathfrak{n}$ мы должны отождествить все элементы из $ad_{\mathfrak{n}}^k\mathfrak{n}$, разность которых принадлежит $ad_{\mathfrak{n}}^{k+1}\mathfrak{n}$. Т.е. две матрицы с одинаковой $k$- й "диагональю" неразличимы. Так что, за представителя $\mathfrak{n}^{(k)}=ad_{\mathfrak{n}}^{k+1}\mathfrak{n}/ad_{\mathfrak{n}}^{k+1}\mathfrak{n}$ берем матрицу

$$\left(\begin{array}{cccccc}0 & \ldots & c_{1,k+1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & c_{2,k+2} & \ldots & 0 \\ \ldots &\ldots& \ldots &\ldots&\ldots& \ldots \end{array}\right).$$

Отсюда сразу ясно, что, как линейное пространство, $\mathfrak{n}=\sum{\mathfrak{n}^{p}}$.
Правильно?

[type2b]

Да, правильно. Также видно, что $[\mathfrak{n}^p,\mathfrak{n}^q]\in \mathfrak{n}^{p+q}$, т.е. имеется градуировка.
На всякий случай надо отметить, что представителей $\mathfrak{n}^p$ можно было выбрать по-другому, например, выше нужной диагонали взять не нули, а единицы, т.е. этот выбор не канонический. Тот выбор, который сделали Вы, согласован с градуировкой.
Теперь для произвольной алгебры все эти утверждения почти очевидны.

[type2b]

Поправочка к предыдущему: вместо "единицы" читать "единицы, для какого-нибудь набора базисных векторов".

[Kallikanzarid]

type2b
А эта ассоциированная алгебра будет изоморфна исходной?

[type2b]

Какая-такая ассоциированная алгебра?

[Kallikanzarid]

type2b
Ассоциированная с фильтрацией, та самая :)

[type2b]

Я не понимаю, что такое 'алгебра, ассоциированная с фильтрацией'.