Grading?

[Munin]

Bulinator в сообщении #466020 писал(а):

Опять непонятное слово. И в Вики нет

У вас Математическая энциклопедия на винчестере есть?

[type2b]

Верхнетреугольные матрицы при том, что это канонический пример разрешимой алгебры Ли. Возьмите три на три или четыре на четыре матрицы и на этом примере посмотрите, как выглядит $ad^n g$ и $ad^ng/ad^{n+1}g$.

Я не понимаю, зачем Вам сдалось утверждение из Желобенко. Для первого Вашего вопроса оно не нужно.
Еще раз подробнее: оно говорит про следующий признак разрешимой алгебры: алгебра разрешима тогда и только тогда, когда в ней есть фильтрация $g\supset g_1\supset\dots\supset 0$, где все члены -- подалгебры Ли в $g$, каждый следующий является идеалом в предыдущем, а факторы двух последовательных членов абелевы. В одну сторону: если алгебра разрешима, то в ней есть ряд из $ad^n$, который удовлетворяет этому условию, ч.т.д. В другую сторону: нетрудно показать, что из абелевости $g/g_1$ следует, что $ad g\subset g_1$ (еще раз, $g_i$ -- просто ряд со свойствами из условия теоремы, это не обязательно нижний центральный ряд). Аналогично $ad^n\subset g_n$ и поэтому $ad^N=0$, следовательно алгебра разрешима, ч.т.д.

Теперь можете предыдущий абзац забыть, Вам он не нужен.

[Bulinator]

type2b в сообщении #466187 писал(а):

Я не понимаю, зачем Вам сдалось утверждение из Желобенко

Ну я думал...

type2b в сообщении #466187 писал(а):

Теперь можете предыдущий абзац забыть, Вам он не нужен.

Так бы и сказали.

[type2b]

Я заглянул в статью. Действительно, как пишет Kallikanzarid, $ad_a^nb=[a,[a,...[a,b]..]]$, и их подалгебра $\mathfrak{n}$ нифига не разрешимая, а нильпотентная, они путают определения. Она и должна быть нильпотентной, чтобы $L$ было нильпотентным. Кроме того, в формуле (2.10) должно быть нечетное/четное число L в двух случаях, чего бы не было при определении $ad^n$ как $[[g,g],[g,g]],...$. Также меня удивляло, что при том неправильном определении $ad$ градуировка получается странной. Если же $\mathfrak{n}$ нильпотентна, то все становится на свои места. Например, если это строго верхнетреугольные матрицы, то градуировка будет по побочным диагоналям (=по высоте корня), т.е. градуировка $1$ это матрицы с элементами на первой побочной диагонали и т.д. Также теперь понятно, почему у них градуировка начинается с $1$, а не с нуля -- это потому что на главной диагонали ничего нет.
Кстати, эта градуировка уже является градуировкой алгебры, а не только векторного пространства, т.к. коммутатор оффдиагональных матриц с диагоналями $n$ и $m$ принимает значения в оффдиагональных матрицах с диагональю $n+m$.
Короче, теперь все понятно.
З.Ы. из нильпотентности конечно следует разрешимость, но все-таки нехорошо так писать

[Kallikanzarid]

(Оффтоп)

type2b
Не подскажите, что Серр в своей желтой книжке называет аналитической группой? Судя по тому, как он использует это понятие, оно похоже на групповой объект в орбифолдах или каких-то других многообразиях с особенностями, но Википедия просто редиректит меня на Lie group

[Bulinator]

type2b, я запутался. Помогите, пожалуйста, распутаться.

(Определение 1(на всякий случай))

Скажем, что множество $A$ является прямой суммой множеств $B$ и $C$, если любой элемент $a\in A$ можно представить ввиде $a=b+c$, где $b\in B, c\in C$. Притом единственным образом.

Верно ли следующее определение факторалгебры?

Пусть $A$- алгебра а $J$ ее идеал(вообще-то, в общем случае двусторонний, но в нашем случае, это само собой разумеется). Тогда мы можем каждому элементу $a\in A$ поставить в соответствие его смежный класс $[a,J]$. Умножение двух смежных классов определим как $[a,J]\times [b,J]=[[a,b],J]$. Множество этих смежных классов с таким законом умножения называется факторалгеброй алгебры $A$ по идеалу $J$.


Перейдем к нашему примеру. Рассмотрим алгебры $ad_{\mathfrak{n}}^p\mathfrak{n}$ и $ad_{\mathfrak{n}}^{p+1}\mathfrak{n}\equiv [ad_{\mathfrak{n}}^p\mathfrak{n},\mathfrak{n}]$. Понятно, что вторая является идеалом первой. Далее, любому элементу алгебры $ad_{\mathfrak{n}}^p\mathfrak{n}\ni x$ ставим в соответствие множество $[x,ad_{\mathfrak{n}}^p\mathfrak{n}]\subset ad_{\mathfrak{n}}^{p+1}\mathfrak{n}$ с законом умножения как в определении выше. Получили $\mathfrak{n}^{p+1}$.

И вот тут начинаются проблемы. Чтобы показать, что $\mathfrak{n}=\sum \mathfrak{n}^{p}$ нужно во первых увидеть, что $\mathfrak{n}^{p}\subset \mathfrak{n}$ и еще что $\mathfrak{n}^{k}\cap \mathfrak{n}^{p}=0$. Ну и еще много чего другого.

И другой вопрос:
если $K$-нормальная подгруппа группы Ли $G$. Можно ли утверждать, что $\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}$, где $\mathfrak{g},\mathfrak{k}$ алгебры Ли групп $G,K$ соответственно, а $\mathfrak{p}$- какая-то алгебра Ли?

-- Пт июл 08, 2011 14:25:43 --

Munin в сообщении #466165 писал(а):

У вас Математическая энциклопедия на винчестере есть?

Нету. Более того, только узнаю, что есть такое счастье на земле нашей грешной. :)

[Kallikanzarid]

Bulinator в сообщении #466404 писал(а):

Скажем, что множество $A$ является прямой суммой множеств $B$ и $C$, если любой элемент $a\in A$ можно представить ввиде $a=b+c$, где $b\in B, c\in C$. Притом единственным образом.

Это не только не строго, это очень опасно Прямой суммы множеств не бывает (если, конечно, вы не имеете ввиду дизъюнктное объединение). Бывает прямая сумма абелевых групп, векторных пространств и, общее, модулей.

Bulinator в сообщении #466404 писал(а):

Чтобы показать, что $\mathfrak{n}=\sum \mathfrak{n}^{p}$ нужно во первых увидеть, что $\mathfrak{n}^{p}\subset \mathfrak{n}$ и еще что $\mathfrak{n}^{k}\cap \mathfrak{n}^{p}=0$.

У вас не получится, ибо очевидно $\operatorname{ad}^{k + p}\mathfrak{n} \subset \operatorname{ad}^{k}\mathfrak{n}$. А вот если вы возмете факторы соседних идеалов, то получите изоморфное конечномерное векторное пространство (если исходная алгебра была им), чтобы в этом убедиться, достаточно посчитать размерности. Но я сомневаюсь, что вы так получите изоморфную алгебру Ли.

-- Пт июл 08, 2011 17:15:46 --

Bulinator в сообщении #466404 писал(а):

И другой вопрос:
если $K$-нормальная подгруппа группы Ли $G$. Можно ли утверждать, что $\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}$, где $\mathfrak{g},\mathfrak{k}$ алгебры Ли групп $G,K$ соответственно, а $\mathfrak{p}$- какая-то алгебра Ли?

Точнее, имеется естественный изоморфизм $\operatorname{Lie}(G \times H) \cong \operatorname{Lie}(G) \times \operatorname{Lie}(H)$, где $\operatorname{Lie}$ - функтор, сопоставляющий группе Ли ее алгебру Ли, а гомоморфизму групп Ли соответствующий гомоморфизм алгебр Ли (порожденный дифференциалом в единице) (см. желтого Серра, глава про теорию Ли).

[Bulinator]

Kallikanzarid в сообщении #466416 писал(а):

У вас не получится, ибо очевидно $\operatorname{ad}^{k + p}\mathfrak{n} \subset \operatorname{ad}^{k}\mathfrak{n}$.

Я не могу сделать выводы из этого утверждения. Иными словами, и чё?

Kallikanzarid в сообщении #466416 писал(а):

А вот если вы возмете факторы соседних идеалов

Так ведь я и взял факторы соседних идеалов. ну... вроде... должен был... см. определение.

Kallikanzarid в сообщении #466416 писал(а):

то получите изоморфное конечномерное векторное пространство

изоморфное чему?

-- Пт июл 08, 2011 12:25:49 --

Kallikanzarid в сообщении #466416 писал(а):

Точнее, имеется естественный изоморфизм $\operatorname{Lie}(G \times H) \cong \operatorname{Lie}(G) \times \operatorname{Lie}(H)$, где $\operatorname{Lie}$ - функтор, сопоставляющий группе Ли ее алгебру Ли, а гомоморфизму групп Ли соответствующий гомоморфизм алгебр Ли (порожденный дифференциалом в единице) (см. желтого Серра, глава про теорию Ли).

Kallikanzarid
перестаньте давить интеллектом. Причем тут произведение группы на ее нормальную подгруппу?

[Kallikanzarid]

Bulinator в сообщении #466420 писал(а):

Kallikanzarid
перестаньте давить интеллектом. Причем тут произведение группы на ее нормальную подгруппу?

Ой, я не то запостил

Всегда найдется такое векторное пространство, но ЕМНИП не всегда найдется такая подалгебра. Пропробую придумать контрпример

[Munin]

Bulinator в сообщении #466404 писал(а):

Более того, только узнаю, что есть такое счастье на земле нашей грешной. :)

Пятитомник того же объёма, что Физическая энциклопедия, только издан на пару десятилетий раньше. Впрочем, не думаю, что все эти вещи настолько новые, чтобы в него не войти. Скачивается там же.

[Kallikanzarid]

Тут все зависит от того, что вы понимаете под прямой суммой алгебр Ли. Я, каюсь, не уверен, что это должно быть.

[Bulinator]

Kallikanzarid в сообщении #466476 писал(а):

Тут все зависит от того, что вы понимаете под прямой суммой алгебр Ли.

См. статью. section 2.1 стр. 5, формула (2.5).

[Kallikanzarid]

Bulinator в сообщении #466480 писал(а):

См. статью. section 2.1 стр. 5, формула (2.5).

То есть просто прямая сумма подалгебр как векторных пространств?

-- Пт июл 08, 2011 21:00:22 --

Берем алгебру $\mathfrak{h}_3$ с базисом $e_1, e_2, e_3$ и таблицей умножения $[e_1, e_2] = e_3$. Любое дополнение $\mathfrak{p }$ к подалгебре $\langle e_3 \rangle \subset \mathfrak{h}_3$ будет содержать элементы $e_1 + \alpha e_3$ и $e_2 + \beta e_3$. Но $[e_1 + \alpha e_3, e_2 + \beta e_3] = e_3 \not\in \mathfrak{p}$, следовательно ни одно такое дополнение не будет подалгеброй $\mathfrak{h}_3$.

[type2b]

Так, по порядку.
Во-первых, я Вас (Bulinator) 2 раза просил рассмотреть пример треугольных матриц. На этом примере нужно явно увидеть, как выглядят матрицы $ad^pn$ и что такое $n^p$. Вы сами в состоянии ответить на свои вопросы с помощью этого примера. Больше я отвечать не буду, пока не разберете пример.

Фактор $ad^pn$ по $ad^{p+1}n$ это множество классов $x~x+[n,y]$, $x,y\in ad^pn$ с умножением введенным как Вы написали в определении. В таком виде это абелева алгебра. Она не является подалгеброй $n$ (и канонически не является подпространством n как векторное пространство). Но как векторное пространство $n$ очевидно изоморфно прямой сумме $n^p$. Как алгебра Ли $n$ не является прямой суммой алгебр Ли $n^p$ и вообще, еще раз, $n^p$ как алгебры не являются подалгебрами $n$.
И вот, поскольку $n$ равно прямой сумме векторных пространств $n^p$, то можно в соответствии с этим разложением ввести градуировку. Надо дальше проверить, что она уважает произведение. Действительно, $[ad^p,ad^q]\in ad^{p+q}$, откуда следует, что $[n^p,n^q]\in n^{p+q}$, ч.т.д.

Про Ваш второй вопрос:
если K -- нормальная подгруппа, то $\mathfrak{g}$ есть полупрямая сумма $\mathfrak{k}$ и $\mathfrak{p}$, где $\mathfrak{p}$ есть алгебра Ли фактора $G/K$. См. википедию 'semidirect product'.
Только в Вашем случае K не является нормальной подгруппой, если я правильно понимаю.

-- Пт июл 08, 2011 12:33:11 --

(Оффтоп)

В книжке 'Алгебры Ли и группы Ли' (это она желтая?) у Серра написано: 'Мы будем называть G аналитической группой или группой Ли, если...', т.е. это просто группа Ли.

[Bulinator]

type2b в сообщении #466595 писал(а):

Во-первых, я Вас (Bulinator) 2 раза просил рассмотреть пример треугольных матриц.

Понял. Пошел рассматривать. Завтра расскажу что получилось.

type2b в сообщении #466595 писал(а):

Только в Вашем случае K не является нормальной подгруппой, если я правильно понимаю.

Поля принимают значения в $G/K$. Если $K$ не нормальная подгруппа, тогда я вообще ничего не понимаю.