Grading?

[Bulinator]

Господа, объясните, пожалуйста что такое grading(формулы 3 и 4).

Цитата:

Consider a solvable subalgebra $\mathfrak{n} \subset \mathfrak{g}$, which satisfies by definition that

$$ \label{nilpad} \exists \, n \in \IN \,, \quad ad^{\; n}_\mathfrak{n} \mathfrak{n} \cong \{ 0 \} \, ,\qquad\qquad\qquad\qquad(1) $$

where

$$ ad_\mathfrak{n} {\mathfrak{n}}\cong [ \mathfrak{n} , \mathfrak{n} ] \qquad\qquad\qquad\qquad(2) $$

as a set, and the power $n$ defines the number of commutators. $\mathfrak{n} $ admits a grading

$$ \mathfrak{n} = \sum_{p=1}^n \mathfrak{n}^\ord{p}\; ,\qquad\qquad\qquad\qquad(3) $$

such that

$$ \mathfrak{n}^\ord{p} \cong ad^{\; p-1}_\mathfrak{n} \mathfrak{n} \setminus ad^{\; p}_\mathfrak{n} \mathfrak{n} \,\; .\qquad\qquad\qquad\qquad(4) $$

[Kallikanzarid]

Разве это не определение нильпотентной алгебры? Даже обозначение за это :) По сабжу, градуировка алгебры - это разложение в прямую сумму $\mathfrak{n} = \sum_{p = 1}^n \mathfrak{n}^p$ такую, что $[\mathfrak{n}^p, \mathfrak{n}^q] \subset \mathfrak{n}^{p+q}$. Типичные примеры (правда, ассоциативных алгебр) - тензорная алгебра и алгебра Грассмана.

[Bulinator]

Что такое $ \mathfrak{n}^\ord{p} \cong ad^{\; p-1}_\mathfrak{n} \mathfrak{n} \setminus ad^{\; p}_\mathfrak{n} \mathfrak{n} \,\; .$?

-- Вт июл 05, 2011 17:09:48 --

Т.е. я правильно понимаю, что мы строим $p-1$-ую подалгебру, потом $p$-ую а потом напрямую выкидываем из первой вторую?

[Kallikanzarid]

Bulinator
Выкидывать не имеем права - нарушится линейность. Но поскольку $\operatorname{ad}_\mathfrak{n}^p \mathfrak{n}$ - это идеал $\operatorname{ad}_\mathfrak{n}^{p - 1} \mathfrak{n}$, я готов поверить, что это опечатка, и имелся ввиду фактор :)

[Bulinator]

Kallikanzarid
спасибо.
Можно я по тупому начну, а Вы меня исправьте(если что)?
Пусть $X,Y\in ad^{\; p-1}_\mathfrak{n} \mathfrak{n}$. Тогда, по определению $[X,Y]\in ad^{\; p}_\mathfrak{n}\mathfrak{n}$.

Понятно, что если $z\in ad^{\; p}_\mathfrak{n}\mathfrak{n}\subset ad^{\; p-1}_\mathfrak{n}\mathfrak{n}\ni X$, то $[z,X]\in ad^{\; p-1}_\mathfrak{n}\mathfrak{n}$. А значит, $ad^{\; p}_\mathfrak{n}\mathfrak{n}$- суть идеал $ad^{\; p-1}_\mathfrak{n}\mathfrak{n}$. Тогда, мы можем определить гомоморфизм $\Gamma$ ставящий в соответствие любому элементу $X\in ad^{\; p-1}_\mathfrak{n}\mathfrak{n}$ множество $[X,ad^{\; p}_\mathfrak{n}\mathfrak{n}]$. Эти новые множемства также образуют алгебру Ли(легко проверить) и называются фактор алгеброй $ ad^{\; p-1}_\mathfrak{n}\mathfrak{n}/ ad^{\; p}_\mathfrak{n}\mathfrak{n}$.

Утверждается следующее: если алгебра Ли разрешима(т.е. выполняется условие (1)), то ее можно представить ввиде прямой суммы вот этих факторалгебр? А как показать?

[Kallikanzarid]

Bulinator в сообщении #465409 писал(а):

Утверждается следующее: если алгебра Ли разрешима(т.е. выполняется условие (1)), то ее можно представить ввиде прямой суммы вот этих факторалгебр? А как показать?

Во-первых, как правило, если утверждается изоморфизм факторалгебры и подалгебры, то речь идет исключительно о характеристике 0. Мы имеем нижний центральный ряд нильпотентной алгебры и должны найти изоморфизм между суммой факторов соседних идеалов и всей алгеброй такой, чтобы имела место градуировка. Можно попробовать по индукции: берем за базу аффинную алгебру ($[\mathfrak{n}, \mathfrak{n}] = 0$) и делаем шаг - надо подумать :)

[Bulinator]

Kallikanzarid в сообщении #465388 писал(а):

Разве это не определение нильпотентной алгебры?

Нет.

Желобенко,Штерн "Представления групп Ли", гл. 3 пар. 1, п. 5 писал(а):

Алгебра $g$ называется разрешимой, если она имеет конечный производный ряд : $g^{(n)}=\{0\}$.

Производным рядом называется последовательность
$g^{(k+1)}=[g^{(k)},g^{(k)}],\quad g^{(0)}=g.$

Алгебра $g$ называется нильпотентной, если она имеет конечный центральный ряд, т.е. $g_n=(0)$ для некоторого $n$.

(Нижним) центральным рядом называется последовательность вложенных идеалов
$g_0\supset g_1\supset\ldots,\quad g_{k+1}=[g_k,g],\quad g_0=g$

-- Ср июл 06, 2011 17:15:03 --

Читаем дальше:

Желобенко,Штерн "Представления групп Ли", гл. 3 пар. 1, п. 5 писал(а):

Каждая подалгебра и каждая факторалгебра разрешимой алгебры Ли разрешима. Если $g_0$- разрешимый идеал и факторалгебра $g/g_0$ разрешима, то алгебра $g$ также разрешима. Алгебра $g$ разрешима тогда и только тогда, когда в ней существует цепочка вложенный идеалов $g=g_0\supset g_1\supset\ldots\supset g_m=(0)$ таких, что факторалгебры $g_k/g_{k+1}$ коммутативны. Частным случаем такой цепочки является производный ряд алгебры $g$.

Откуда следует выделенное утверждение?

[Bulinator]

(Оффтоп)

Неужели на форуме нет спецов по алгебрам Ли?

[Kallikanzarid]

Bulinator в сообщении #465754 писал(а):

Нет.

Как это нет, когда да? $\operatorname{ad}^k\mathfrak{n} = [\mathfrak{n}, [\ldots, \mathfrak{n}] \ldots]$ - это идеал из нижнего центрального ряда, конечность этого ряда - определение нильпотентности. Откройте желтого Серра, если мне не верите.

Bulinator в сообщении #465754 писал(а):

Откуда следует выделенное утверждение?

В одну сторону очевидно: $\mathfrak{g} / [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$ - абеленизация. В другую - аналогично нильпотентной алгебре, доказывем, что $\mathfrak{g}^{(i)} \subset \mathfrak{g}_i$ (не уверен в правильности, в желтом Серре написано просто "очевидно" ).

По основному вопросу вам скорее ответят на math.stackexchange.com.

[Bulinator]

Kallikanzarid, либо Вы разговариваете на каком-то слэнге, либо я слишком безграмотен, чтобы это понять. Я скачал книгу Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли 1969(не знаю, это желтый или нет). Там тоже разрешимые алгебры Ли определяются через производный ряд. А что этот Боссард(автор статьи) имел ввиду под свом обозначением, можно догадаться из определения. Ключевое слово- solvable.

Что такое абелинизация? Т.е. вы утверждаете, что элементы алгебры $\mathfrak{g} / [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$ коммутативны?

[type2b]

Что такое $ad^n$: $g, [g,g], [[g,g],[g,g]]$ и т.д., поэтому это определение разрешимости, а не нильпотентности.
Доказательство утверждения из Желобенко Вам уже привели: в одну сторону это следует из определения, в другую из того, что $ad^ng\subset g_n$.

Что касается первого вопроса, то:
В алгебре есть очевидная фильтрация $g\supset ad^1g\supset\dots\supset 0$. Тогда из нее следует, что $g$ как линейное пространство есть прямая сумма факторов $ad^0/ad^1\oplus ad^1/ad^2\oplus\dots\oplus ad^{n-1}$. При этом сами факторы по построению являются абелевыми алгебрами (т.к. это абелианизации). Но они не являются подалгебрами $g$, поэтому говорить о том, что $g$ есть их прямая сумма как алгебра Ли вроде нельзя. Так что это градуировка в смысле векторного пространства, а не алгебры.

Все эти вещи полезно проделать руками на каноническом примере разрешимой алгебры -- на верхнетреугольных матрицах.

[Kallikanzarid]

type2b в сообщении #465930 писал(а):

Что такое абелинизация? Т.е. вы утверждаете, что элементы алгебры $\mathfrak{g} / [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$ коммутативны?

Абелианизация алгебры Ли $\mathfrak{g}$ - это в точности $\mathfrak{g} / [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$. Легко увидеть, что проекция $p: \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} / [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$ обладает свойством $[p(a), p(b)] = p([a, b]) = 0$ для любых $a, b \in \mathfrak{g}$

[Kallikanzarid]

УПД: ЕМНИП, абелианизация обладает универсальным свойством (через нее факторизуется любой морфизм в абелеву алгебру Ли), откуда и получаем $g^{(i)} \subset g_i$.

-- Чт июл 07, 2011 13:48:08 --

type2b
А я подумал, что $\operatorname{ad}^n = \underbrace{\operatorname{ad} \circ \ldots \circ \operatorname{ad}}_n$

[Bulinator]

type2b, Kallikanzarid
огромное спасибо.

Kallikanzarid в сообщении #465876 писал(а):

В одну сторону очевидно: $\mathfrak{g} / [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$ - абеленизация.

Там нигде не говориться, что что $g_k$- это нижний центральный или производный ряд. Или подразумевается?

type2b в сообщении #465930 писал(а):

В алгебре есть очевидная фильтрация $g\supset ad^1g\supset\dots\supset 0$.

Опять непонятное слово. И в Вики нет

type2b в сообщении #465930 писал(а):

Все эти вещи полезно проделать руками на каноническом примере разрешимой алгебры -- на верхнетреугольных матрицах.

Причем тут верхнетреугольные матрицы?

Господа, посоветуйте, пожалуйста, книгу для систематического обучения. А то наш курс алгебры закончился на Ильин-Позняке а дальше все, что знаю, идет из книг по КМ и КТП. Т.е. в каком то смысле занимаюсь ломоносовщиной.

Мне нужно понять вот эту статью.

[Kallikanzarid]

Bulinator в сообщении #466020 писал(а):

Опять непонятное слово. И в Вики нет

Как же нет, когда есть? :) http://en.wikipedia.org/wiki/Filtration ... ematics%29

-- Чт июл 07, 2011 21:31:24 --

О, вот же то, о чем вы спрашивали! http://en.wikipedia.org/wiki/Filtered_algebra

-- Чт июл 07, 2011 21:35:34 --

http://en.wikipedia.org/wiki/Graded_Lie_algebra