"Парадокс" - помогите найти ошибку

[viatore]

Пусть $X$-мн-во. Рассмотрим "подмножество" $A\subset X: A=\{x\ |\ x\in X\setminus A\}$.
Если $A$ является множеством, то дело швах (проверьте пустое оно или нет).
Если $A$ не множество, то почему? Насколько я знаю пока проблемы были только с множествами, содержащими/не содержащими себя в качестве элемента.. Тут вроде бы этого нет. Или как?

[jetyb]

$\{x|x\in A\} = A = \{x| x\in X \setminus A\} $
$A=A\intersect A =\{ x|x\in((A)\intersect (X\setminus A)\))\}$

[viatore]

и что :)
вы показали, что А-пустое?
значит согласно определению А, которое я ввел в первом посте: $\varnothing=\{x\ |\ x\in X\setminus\varnothing\}=X$
что есть противоречие, если изначально предположить, что $X$ не пусто

тут проблема в самой конструкции
я вот не могу понять она сводится к парадоксу рассела или это отдельный парадокс
и как его обходит современная теория множеств
посмотрел по диагонали Куратовского-Мостовского. не понял как..

[bnovikov]

viatore в сообщении #467610 писал(а):

Пусть $X$-мн-во. Рассмотрим "подмножество" $A\subset X: A=\{x\ |\ x\in X\setminus A\}$.

Нет здесь противоречий, просто прочитайте внимательно то, что Вы написали. Что такое "подмножество" в кавычках? Это подмножество или какой-то другой объект? Если другой, то назовите его иначе. Но тогда имеете ли Вы право для этого объекта использовать то же обозначение, что и для множества
$\ldots =\{\ldots \ |\ldots \}$?

[LaTeXScience]

viatore в сообщении #467610 писал(а):

Пусть $X$-мн-во. Рассмотрим "подмножество" $A\subset X: A=\{x\ |\ x\in X\setminus A\}$.
Если $A$ является множеством, то дело швах (проверьте пустое оно или нет).
Если $A$ не множество, то почему? Насколько я знаю пока проблемы были только с множествами, содержащими/не содержащими себя в качестве элемента.. Тут вроде бы этого нет. Или как?

Пусть $X$ - куча камней. Рассмотрим кучу камней $A$ из $X$, в которой есть какой-то камень, если в ней его нет.
Если $A$ является кучей камней, то дело швах (проверьте пустая она или нет).
Если $A$ не куча камней, то почему? Насколько я знаю пока проблемы были только с кучами камней, содержащими/не содержащими себя в качестве камня. Тут вроде бы этого нет. Или как?

[viatore]

ну как же нет..
допустим мы сняли кавычки и А - множество, также предположим изначально, что Х - не пусто
тогда возможны 2 варианта:
1) $A=\varnothing$, тогда как я писал ранее
$\varnothing=\{x\ |\ x\in X\setminus\varnothing\}=X$ противоречие
2) $A\ne\varnothing$, тогда $\exists x\in A: x\in X\setminus A$ противоречие

-- Вт июл 12, 2011 21:10:25 --

LaTeXScience
вы напираете на здравый смысл? его давно уже нет в математике :)
например Вам придется выбрать или аксиому выбора (произв непустых мн-в непусто) или невозможность разбиения сферы на 2 сферы объемом, совпадающим с первой. оба факта разумны, но выбрать придется только одно
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A2%D0%B0%D1%80%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE

[LaTeXScience]

viatore в сообщении #467689 писал(а):

разбиения сферы на 2 сферы объемом, совпадающим с первой

Подумаешь. А еще, есть непрерывные функции, которые нигде не дифференцируемы. И что?

(Оффтоп)

Кстати, не сферы там, а шары.

[bnovikov]

viatore в сообщении #467689 писал(а):

ну как же нет..
допустим мы сняли кавычки и А - множество, также предположим изначально, что Х - не пусто
тогда возможны 2 варианта:
1) $A=\varnothing$, тогда как я писал ранее
$\varnothing=\{x\ |\ x\in X\setminus\varnothing\}=X$ противоречие
2) $A\ne\varnothing$, тогда $\exists x\in A: x\in X\setminus A$ противоречие

Если Вы сняли кавычки, то получаете:

$$x\in A \Leftrightarrow x\not\in A,$$

а из этого, конечно, можно получить что угодно.

[Kallikanzarid]

Вас опередил Рассел:
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_sche ... prehension

[ewert]

viatore в сообщении #467689 писал(а):

допустим мы сняли кавычки и А - множество, также предположим изначально, что Х - не пусто
тогда возможны 2 варианта:
1) $A=\varnothing$, тогда как я писал ранее
$\varnothing=\{x\ |\ x\in X\setminus\varnothing\}=X$ противоречие
2) $A\ne\varnothing$, тогда $\exists x\in A: x\in X\setminus A$ противоречие

Кавычки тут не при чём, а вот теперь призадумайтесь, какое в точности утверждение Вы столь замечательно доказали. Поскольку приведение к противоречию -- это доказательство от противного некоторого вполне конкретного утверждения.

Конечно, лучше б с самого начала сформулировать точное утверждение и лишь потом пытаться его доказывать. Но если с формулировками дело швах -- попытайтесь хотя бы опознать то утверждение, которое у Вас нечаянно выползло.

[viatore]

ewert

Цитата:

Кавычки тут не при чём, а вот теперь призадумайтесь, какое в точности утверждение Вы столь замечательно доказали. Поскольку приведение к противоречию -- это доказательство от противного некоторого вполне конкретного утверждения.

по мне так полученное противоречие доказывает, что А-не множество
а значит помимо классов объектов, содержащих себя в качестве элементов нужно выбросить также и классы, содержащие только те элементы, которые они не содержат :)
странно конечно звучит..

Kallikanzarid
да, я в курсе, что у него тоже вылез парадокс. но тот другой и от него уже избавилсиь
хочу понять то что я понаписал это:
1) новый парадокс
2) сводится к одному из старых
3) не парадокс

LaTeXScience
да, вы правы конечно шары, описка
ваш аргумент в мою пользу

bnovikov
да, можно и так
и это я получаю из того, что А-множество

[Kallikanzarid]

viatore в сообщении #467728 писал(а):

да, я в курсе, что у него тоже вылез парадокс. но тот другой и от него уже избавилсиь
хочу понять то что я понаписал

Откройте схему выделения (axiom scheme of specification) и посмотрите, что у вас получится с вашим предикатом.

[Someone]

По-моему, полный бред. Если $X\neq\varnothing$, то Ваше условие само себе противоречит (совершенно не важно, как при этом называть $A$), а Вы с глубокомысленным видом задаёте вопрос: "Что бы это значило?" Поскольку условие противоречит самому себе, оно ничего не определяет. Возможность сформулировать противоречивое утверждение ничего не означает, их легко можно наплодить воз и маленькую тележку. Гораздо интереснее, если бы такое утверждение можно было вывести из аксиом.
Если $X=\varnothing$, то условие непротиворечиво, и $A=\varnothing$.
У меня такое ощущение, что я это уже где-то видел. Кто-то с этим уже, как будто, выступал на нашем форуме.

viatore в сообщении #467689 писал(а):

вы напираете на здравый смысл? его давно уже нет в математике :)

"Здравый смысл" - это всего лишь бытовой опыт, накопленный человеком за его жизнь. С ним и в физику-то лучше не соваться, а в математике совсем делать нечего.

viatore в сообщении #467689 писал(а):

Вам придется выбрать или аксиому выбора (произв непустых мн-в непусто) или невозможность разбиения сферы на 2 сферы объемом, совпадающим с первой.

Такой альтернативы нет. Есть ещё третий вариант: от аксиомы выбора откажемся, а "разбиение" шара, зараза, никуда не денется.
Вообще, Ваше высказывание ужасно безграмотное. Во-первых, речь идёт не о сфере, а о шаре, на что Вам уже указывали. Во-вторых, это не разбиение шара на два шара, а разбиение шара на несколько частей, из которых можно "сложить" два таких же шара.

LaTeXScience в сообщении #467687 писал(а):

Если $A$ не куча камней, то почему? Насколько я знаю пока проблемы были только с кучами камней, содержащими/не содержащими себя в качестве камня. Тут вроде бы этого нет. Или как?

Не было никаких проблем с такими "кучами". Если Вы про парадокс Рассела, то его причина в другом. В ZFC такие "кучи" исключаются специальной аксиомой (аксиома регулярности или фундирования), но аксиома вводится не из-за парадокса Рассела (вообще, если парадокс в теории есть, то его нельзя ликвидировать, добавляя новые аксиомы; чтобы избавиться от противоречия, наоборот, придётся отказаться от каких-то из уже имеющихся аксиом).

Kallikanzarid в сообщении #467740 писал(а):

Откройте схему выделения (axiom scheme of specification) и посмотрите, что у вас получится с вашим предикатом.

Вот это разумный совет.

[LaTeXScience]

Someone в сообщении #467746 писал(а):

Не было никаких проблем с такими "кучами". Если Вы про парадокс Рассела, то его причина в другом. В ZFC такие "кучи" исключаются специальной аксиомой (аксиома регулярности или фугдирования), но аксиома вводится не из-за парадокса Рассела (вообще, если парадокс в теории есть, то его нельзя ликвидировать, добавляя новые аксиомы; чтобы избавиться от противоречия, наоборот, придётся отказаться от каких-то из уже имеющихся аксиом).

Я просто переписал первое сообщение темы заменив "множество" на "куча камней". Получился тот же бред, но в более явном виде.

(Оффтоп)

Причина парадокса Рассела в противоречивости аксиоматики Фреге.

[vek88]

viatore в сообщении #467610 писал(а):

Пусть $X$-мн-во. Рассмотрим "подмножество" $A\subset X: A=\{x\ |\ x\in X\setminus A\}$.
Если $A$ является множеством, то дело швах (проверьте пустое оно или нет).
Если $A$ не множество, то почему? Насколько я знаю пока проблемы были только с множествами, содержащими/не содержащими себя в качестве элемента.. Тут вроде бы этого нет. Или как?

Уважаемый viatore

А зачем так сложно. Можно в том же духе построить парадокс и без множеств. Вот пример. Я ввожу высказывание $A$, определяя его истинность правилом: $A$ истинно, если и только если $A$ ложно.

Вопрос: $A$ истинно или ложно?

Этот пример, по сути, объясняет причину Вашего парадокса - откровенно циклическое определение, в котором определяемое понятие определяется само через себя. В теории К-систем - это определение, нарушающее полноту К-систем.

Все это уже рассматривалось в теме Основания математики - элементарное рассмотрение, см. post284663.html#p284663

Если же Вы настаиваете все-таки на Вашем исходном примере определения множества $A$, то с Вашего позволения в ближайшее время разберу этот пример в упомянутой теме Основания математики - элементарное рассмотрение, дабы не размазываться по просторам форума. Ваш пример в этом плане очень хороший - гораздо проще парадокса Рассела (нет необходимости привлекать малопонятные вещи типа множества всех множеств или самосодержащих множеств) - поэтому и более нагляден и поучителен в понимании причин парадоксов, а также причин их отсутствия в реальной математической практике.