Brukvalub
Brukvalub писал(а):
Скажите, а в каком контексте у Вас возникла эта проблема сложения единиц? Ведь существующие теории арифметики, алгебры и т.д. неплохо справляются с решением нужных людям математических задач.
Прости за задержку с ответом. Все время усердно исследовал проблему понимания 1 + 1. Вот, что удалось выяснить.
Сначала было так, как ты говоришь: люди складывали, вычитали, умножали, делили и неплохо справлялись. Но потом появился Пифагор и доказал свою теорему не для данного наглядного прямоугольного треугольника, а для любого треугольника из тех, которые были, есть, будут и даже тех, которые не будут, но только могут быть. Конечно, он их не мог видеть, он их мыслил. С этого все и началось. Было доказано, что все углы, вершина которых находится на окружности, а их стороны проходят через концы диаметра, — прямые. Все углы, вершины которых находятся на окружности, а их стороны проходят через концы одной и той же хорды, — равны и в два раза меньше угла, вершина которого находится в центре окружности, а их стороны проходят через концы той же самой хорды. Мышление позволяло охватить в единстве бесконечное число предметов! Было от чего придти в изумление. У некоторых просто крыша поехала. Да, что «поехала»? Снесло полностью! Луки перестали работать: выпущенные стрелы замерзали на полпути. Спортсмены перестали бегать: победители олимпийских игр не могли догнать ползущих черепах.
Видеть число предметов стало недостаточным, умникам потребовалось число
мыслить. И что же? Было дано понимание (натурального) числа.
Число же – множество, составленное из единиц (
Евклид).
Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος
Как легко видеть, тождественных единиц оказалось много.
Правда, затем все устаканилось, умников разогнали, и трезвый взгляд на вещи восторжествовал. Но зараза не исчезла: ее сохранили арабы и вновь занесли в Западную Европу. Эпидемия медленно стала распространяться и усугубляться, а к концу 19 века некоторые с гордостью заявляли: «В течение долгого времени математика отдалялась от евклидовой строгости [читай — отмороженности], сейчас она возвращается к ней, и даже стремится её превзойти» (
Г.Фреге).
Мне было лестно здесь услышать в свой адрес, что я придумываю новые свойства и занимаюсь псевдопроблемой. Остатки моего чувства справедливости не позволяют мне принять такую честь. В одной из основополагающих работ современной математики, более того, в самом введении к одной из основополагающих работ современной математике, более того, в нулевом параграфе введения к одной из основополагающих работ современной математики «Основоположения арифметики» современный Аристотель в логике, как его называют, (но мы-то знаем, как его надо правильно называть) ставит вопрос о существовании и понимании множества тождественных единиц. Более того, вся первая половина книги, так или иначе, вращается вокруг этой проблемы.
Не могу не удержаться о цитаты, в которой, как мне кажется, точно выражена психологическая ситуация, сложившаяся здесь на форуме.
«Многие, правда, сочтут, что это не стоит труда. Ведь с этим понятием, как они полагают, достаточно иметь дело в элементарных руководствах и на этом успокоиться на всю жизнь. Кто поверит, что в таком простом деле всё ещё можно чему-то научиться! Ибо понятие положительного целого числа так свободно от всяких затруднений, что и ребёнок может обращаться с ним научно исчерпывающе и что каждый без дальнейших размышлений и без знакомства с тем, что думали другие, точно знает в нём толк. Так что часто недостаёт того первого предварительного условия обучения: знание незнания» (
Г.Фреге).
Правда, сам автор не предложил (или не успел предложить) решения проблемы. Его мысль вращается по кругу: если мы складываем 1 и 1, то, кажется, мы складываем разное. Но если мы складываем каждый раз разные, то разное и должны получить. Этим он указывает на проблему, но не предлагает ее решения.
Пользуясь случаем, хочу спросить: Нет ли у кого работы Фреге Г. Шрифт понятий // Методы логических исследований. Тбилиси: Мецниереба, 1987. С 83–151?
Brukvalub писал(а):
кризиса понятий в них, как мне кажется, не наблюдается.
А вот с этим сложнее. Проблема, как мне представляется, не в том, чтобы ввести
в теорию новые понятия, например, предикат, который различает единицы. Проблема с понятиями, которые используются
при интерпретации теории (не путать с моделью).
AlexDemAlexDem писал(а):
Кстати, совокупность единиц (то есть объектов) в реальном мире будет являться множеством, поскольку они отличаются координатами.
Верно, а как быть с математикой? В физике для различения тождественных частиц мы используем координаты. А тождественные математические объекты как мы будем различать? И вообще, какой смысл этого понятия "разные и одновременно тождественные математические объекты"?
Они тождественны, в том же смысле что и сигналы 0 и 1 в компьютере или фишки
