Сколько существует единиц, или сколько будет один плюс один?

[Sashamandra]

Нас учили, что единица одна и что в выражение 1 + 1 входит два раз имя единицы, которое обозначает одну и ту же единицу. Но так ли это? Если мы к одному яблоку прибавим одно (но другое) яблоко, получим два яблока. А если к одному яблоку прибавим то же самое яблоко (яблоко + яблоко), получим одно яблоко. Аналогичным образом, если к единице прибавим другую единицу, получим два, а если к единице прибавим ту же самую единицу, единица и останется единицей. Так как по-вашему, сколько единиц существует?

[PAV]

$(a+b)=a+b$

$|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|$

Не надо путать числовые операции и теоретико-множественные.

[Brukvalub]

Sashamandra писал(а):

... Если мы к одному яблоку прибавим одно (но другое) яблоко, получим два яблока. А если к одному яблоку прибавим то же самое яблоко (яблоко + яблоко), получим одно яблоко...

.
Яблоки нельзя складывать, если перед этим не определить заранее операцию сложения яблок.

[Sashamandra]

Спасибо за помощь, но, к сожалению, она мне не помогла.
Хорошо, попробую разъяснить проблему еще раз.

Давайте, я начну несколько издалека. Это позволит неявно определить понятия, которыми я пользуюсь.

Рассмотрим предыдущее предложение «Это позволит неявно определить понятия, которыми я пользуюсь». Оно написано символами из алфавита русского языка. Число символов в алфавите фиксировано, но длина произвольного предложения не фиксирована. Это достигается тем, что в предложении встречаются одинаковые (тождественные, равные) символы.

Рассмотрим формулу «$1 + 1 = 2$». В нее входят два одинаковых (тождественных, равных) имени «$1$» и «$1$».

Пусть нам дана некая функция $\operatorname{f}$ от двух аргументов. Она может быть, например, неким алгоритмом с двумя входами, физическим преобразованием двух физических объектов или функцией сложения натуральных чисел. Рассмотрим два предмета $\operatorname{a}$ и $\operatorname{b}$ из области определения этой функции. $\operatorname{f} (\operatorname{a} ,\operatorname{b} )$ означает объект, который получен в результате применения функции к своим аргументам.

Спрашивается: какой смысл имеет выражение $\operatorname{f} (\operatorname{b} ,\operatorname{b} )$? Один из возможных ответов будет следующим. Аргументы $\operatorname{b}$ и $\operatorname{b}$ в выражении $\operatorname{f} (\operatorname{b} ,\operatorname{b} )$ указывают на (обозначают) два одинаковых (тождественных, равных) объекта аналогично тому, как выше «$1$» и «$1$» означали два одинаковых (тождественных, равных) имени. Но если в универсуме рассуждения не существует тождественных объектов, причем произвольное число, то данный ответ не может быть принят и возникает проблема. Подобная проблема не возникает в приведенных выше случаях, т.к. мы имеем свободу выписывать символы алфавита и имена объектов столько раз, сколько нам потребуется. А разве мы можем создавать в универсуме сами объекты?

Поскольку в математике как правило рассматривают $\operatorname{f} (x,y)$ при $x = y$ и $x \ne y$ на равных основаниях, то спрашивается, каким образом можно обосновать такую практику?

[Brukvalub]

А новый универсум из упорядоченных пар объектов прежнего универсума Вас не устроит?

[Sashamandra]

Brukvalub

Brukvalub писал(а):

А новый универсум из упорядоченных пар объектов прежнего универсума Вас не устроит?

Вполне устроил бы. Предложенный Вами подход разрешил бы возникшую выше проблему… если бы могли из одного предмета сделать пару тождественных предметов, чтобы потом их упорядочить. Другими словами, нам нужно будет сначала для каждого предмета универсума создать ему тождественный, а потом уже создавать упорядоченные их пары. Причем каждый раз, когда мы вводим n-местную функцию, нам нужно n раз клонировать каждый предмет универсума. Может, будет проще постулировать, что в универсуме уже содержится произвольное число тождественных копий любого предмета?

Допустим, мы произвели необходимое клонирование и создание упорядоченных пар. Давайте посмотрим, к чему мы пришли.

С одной стороны, мы расширяем универсум. Например, универсум натуральных чисел теперь содержит не только сами натуральные числа, но и произвольные упорядоченные пары чисел. С другой стороны, мы сужаем наши выразительные средства: мы отказываемся от рассмотрения функций от нескольких аргументов.

Мы этого хотели?

[Someone]

Sashamandra писал(а):

С другой стороны, мы сужаем наши выразительные средства: мы отказываемся от рассмотрения функций от нескольких аргументов.

Во-первых, функция $n$ переменных - это и есть функция на множестве упорядоченных $n$-ок, поэтому мы ни от чего не отказываемся.
Во-вторых, я не понимаю, почему единственность числа $1$ мешает складывать его само с собой. До сих пор никому не мешало. Число - это не физический объект, и сложение его с собой же не означает его физического или хотя бы логического удвоения. Мне кажется, вы путаете арифметическую операцию с её записью на бумаге. В формальной теории мы можем (и вынуждены) говорить об именах, поскольку там ничего, кроме имён, и нет, и речь идёт не об операции, а о её записи, но в обычной неформализованной ситуации об этом можно не вспоминать.

[Sashamandra]

Someone
Спасибо за желание помочь, но у меня возникли возражение и вопрос.

Someone писал(а):

Во-первых, функция $n$ переменных - это и есть функция на множестве упорядоченных $n$-ок, поэтому мы ни от чего не отказываемся.

С этим я не могу согласиться. В математике широко распространена практика представления многоместных функций с помощью одноместных, но это совсем не значит их отождествления. В логике, которая определяет выразительные средства для всех теорий, принципиально различаются одноместные и многоместные функции. В теории алгоритмов работу алгоритма с несколькими входами моделируют алгоритмом с одним входом от слов расширенного алфавита, другими словами, цепочки (n-ки) слов некоторого универсума слов сами ему не принадлежат. Что касается теории множеств (ZF), в ней вообще нет ни функций, ни упорядоченных n-ок. К универсуму теории множеств принадлежат только предметы, в данном случае — множества. В теории множеств строятся предметы (или доказывается их существование), о которых мы говорим как о «так называемых упорядоченных парах», о «так называемых функциях». В теории множеств представляют многоместные функции с помощью так называемых функций от так называемых упорядоченных n-ок.

Someone писал(а):

Во-вторых, я не понимаю, почему единственность числа $1$ мешает складывать его само с собой. До сих пор никому не мешало. Число - это не физический объект, и сложение его с собой же не означает его физического или хотя бы логического удвоения. Мне кажется, вы путаете арифметическую операцию с её записью на бумаге. В формальной теории мы можем (и вынуждены) говорить об именах, поскольку там ничего, кроме имён, и нет, и речь идёт не об операции, а о её записи, но в обычной неформализованной ситуации об этом можно не вспоминать.

Замечательно! Вы тот, кто мне нужен! Я же и обратился сюда за помощью. Если Вы знаете, как правильно следует понимать «$1 + 1$», умоляю, объясните! Согласен, давайте не будем вспоминать о записи и формализации. Объясните, пожалуйста, на неформальном, содержательном уровне, как следует понимать «$1 + 1$».

[Brukvalub]

1+1=2, так это и следует понимать.

[Sashamandra]

Brukvalub

Brukvalub писал(а):

1+1=2, так это и следует понимать.

Кажется, это Вы советовали:

Brukvalub писал(а):

нельзя складывать, если перед этим не определить заранее операцию сложения

Что же Вы не следуете своим собственным советам?

[Brukvalub]

Зачем мне переопределять то, что давным-давно было определено до меня? Описание операции сложения натуральных чисел Вы можете найти, например, в Арифметике Леонтия Филлиповича Магницкого: http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/magn.htm , в Руководстве к арифметике для употребления в народных училищах РОССИЙСКОЙ ИМПЕРИИ изданное ПО ВЫСОЧАЙШЕМУ ПОВЕЛЕНИЮ : http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/1804.htm ,в книге Андрея Петровича Киселева Систематический курс арифметики: http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/kiselev.htm . Там же Вы найдете многочисленные примеры для упражнений, позволяющие утвердить свои навыки в сложении единиц и других чисел.
И еще: несомненно, удивительным является факт обозначения разных экземпляров единицы одним ее именем, но еще более меня поражает желание одного и того же человека называться разными именами..

[Sashamandra]

Brukvalub

Brukvalub писал(а):

Зачем мне переопределять то, что давным-давно было определено до меня?

Да потому что это дискуссионный форум. Или я ошибся адресом? Или просто у Вас нет желания? Так ведь никто не заставляет...

[Someone]

Sashamandra писал(а):

В математике широко распространена практика представления многоместных функций с помощью одноместных, но это совсем не значит их отождествления.

Разумеется, следует различать объект и его модель. В данном случае речь идёт о построении формальной модели $n$-местной функции. В качестве такой модели принимается функция на совокупности упорядоченных $n$-ок. Вы это только что открыли и теперь спешите поделиться своим открытием со всем миром? Или просто, извините за грубость, дурью маетесь? Причём, уже не первый раз.

Sashamandra писал(а):

Предложенный Вами подход разрешил бы возникшую выше проблему… если бы могли из одного предмета сделать пару тождественных предметов, чтобы потом их упорядочить. Другими словами, нам нужно будет сначала для каждого предмета универсума создать ему тождественный, а потом уже создавать упорядоченные их пары. Причем каждый раз, когда мы вводим n-местную функцию, нам нужно n раз клонировать каждый предмет универсума. Может, будет проще постулировать, что в универсуме уже содержится произвольное число тождественных копий любого предмета?

Предложенный Вами подход ставит человечество в абсолютно безвыходную ситуацию, ибо запрещает упоминать какой-либо объект, если ранее его кто-нибудь уже упоминал. В том числе делает невозможной и Вашу любимую математическую логику: поскольку каждый символ алфавита существует (как элемент алфавита) в единственном экземпляре, мы можем использовать его только один раз. Ибо сказано:

Sashamandra писал(а):

А разве мы можем создавать в универсуме сами объекты?

Далее. Вы пишете:

Sashamandra писал(а):

мы сужаем наши выразительные средства: мы отказываемся от рассмотрения функций от нескольких аргументов.

Раз пошла такая пьянка, давайте договоримся: Вы демонстрируете убедительный пример, показывающий, что нечто возможно выразить, используя функции $n$ переменных, и невозможно выразить, используя функции на упорядоченных $n$-ках. До демонстрации такого убедительного примера все Ваши рассуждения считаем пустословием.

[Brukvalub]

Дискуссия не подразумевает, что, после выдвижения участником форума какого-либо тезиса, все сразу же кидаются этот тезис подтверждать и развивать. В частности, я утверждаю, что в арифметике нет проблем со сложением единиц: операция их сложения определена корректно, за все время эксплуатации этой теории рекламаций не было и не предвидится. А для подтверждения своего утверждения выше я сослался на авторитетные источники моей информации. Чем не продолжение дискуссии, правда, возможно, не в том ключе, которого Вы добиваетесь?

[Sashamandra]

Brukvalub
Если Вы посмотрите на мои сообщения, то Вы найдете в них аргументы, показывающие существование проблемы. Если Вы утверждаете, что проблемы нет, игнорируя мои аргументы, то это, как Вы понимаете, не дискуссия.