Статья Robert J. Aumann (смерть голубоглазых)

[mclaudt]

В.О. в сообщении #466203 писал(а):

Общим знанием об элементе (0,0,0) по Ауманну является место встречи разбиений, содержащее элемент (0,0,0). У меня получается что-то непонятное. А у Вас?

До объявления, что есть голубоглазые - это все множество. После объявления, что есть голубоглазые - это пустое множество, ибо 000 перестает принадлежать множеству обсуждаемых событий. В моем представлении после каждого дня множество элементарных событий меняется, начиная с нулевого дня, когда отсекается 000, автоматом делая знание, что есть голубоглазые, множеством всех оставшихся элементарных событий и, следовательно, - общим знанием.

[В.О.]

Наверное, да, нужно каждый день менять пространство элементарных событий. И каждый раз находить новое общее знание. Получится ли, в конце концов, что-то содержательное? Пока не видно.

[mclaudt]

В.О. в сообщении #466253 писал(а):

И каждый раз находить новое общее знание.

Единственным общим знанием будет текущее множество всех оставшихся (неисключаемых) событий, что в нулевой день, что во все последующие.

Мне тоже сначала казалось, что общее знание имеет ещё такое свойство, что участники логическими цепочками могут определить реальное событие. Но выходит, что это не так. Тот факт, что в конце концов они определили число голубоглазых - просто совпадение.

[epros]

mclaudt в сообщении #466313 писал(а):

Мне тоже сначала казалось, что общее знание имеет ещё такое свойство, что участники логическими цепочками могут определить реальное событие. Но выходит, что это не так.

Конечно же это не так. Примером является игра в чёт-нечет. Каждый из игроков (и загадывающий, и отгадывающий) знает:
1) что загадывающий заинтерсован в несовпадении ответов, а отгадывающий заинтересован в совпадении ответов,
2) что оба знают (1),
3) что оба знают (2),
и т.д.

Какой логической цепочкой отгадывающий может определить реальное событие - что загадает загадывающий? Да никакой.

Вы это имели в виду?

[Gortaur]

epros
Именно поэтому для равновесия Нэша нужны смешанные стратегии - словом, для существования решения необходимы непрерывные структуры, дискретных может быть недостаточно.

[В.О.]

mclaudt в сообщении #466313 писал(а):

Единственным общим знанием будет текущее множество всех оставшихся (неисключаемых) событий, что в нулевой день, что во все последующие.

Вроде, так. Выходит, что общее знание в смысле Ауманна в этой задаче бессодержательно. Где скрыт дефект?
1. В понятии "общее знание"
2. В формализации Ауманна.
3. В конкретном выборе $\Omega$ и $\mathcal{P}_i$

[mclaudt]

epros в сообщении #466331 писал(а):

Вы это имели в виду?

Нет, не совсем. Я о конкретной формализации для конкретной задачи, с конкретными дихотомиями, а вы приводите трудноформализуемую софистику. Попробуйте уточнить, что в вашем примере следует понимать под $\Omega$, а что под $\mathcal{P}_i$.

Я про то, что из того факта, что концепцию общего знания часто иллюстрируют задачей о голубоглазых, может сложиться неверное представление о том, что если какое-то подмножество элементарных событий представляет собой общее знание относительно любого своего элемента, то игроки последовательным объявлением о непринадлежности их знания $P_i(\omega)$ о реальном раскладе $\omega$ целиком какому-то подмножеству соответствующей игроку дихотомии $A_i$, могут через фиксированное количество шагов определить реальный расклад $\omega$.

Выше показано, что это в общем случае не так, приведен пример со стенкой между вторым и третьим игроком, когда хоть и знание о том, что голубоглазые существуют, является общим знанием относительно любого своего элемента-расклада, игроки не убиваются через определенное количество дней, так как не могут определить реальный расклад одними лишь исключениями знаний, лежащих по одну сторону от дихотомий.

-- Пт июл 08, 2011 09:47:18 --

Gortaur в сообщении #466340 писал(а):

Именно поэтому для равновесия Нэша нужны смешанные стратегии - словом, для существования решения необходимы непрерывные структуры, дискретных может быть недостаточно.

Не могли бы пояснить, как в приведенной задаче вы вводите игру, стратегии, выигрыши, что оперируете понятием равновесия Нэша?

-- Пт июл 08, 2011 10:01:40 --

В.О. в сообщении #466347 писал(а):

Вроде, так. Выходит, что общее знание в смысле Ауманна в этой задаче бессодержательно. Где скрыт дефект?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть хотя бы одну задачу, где концепция общего знания применяется по назначению, именно так, как задумано авторами. Все упомянутые Ауманном задачи касались вероятностей, и на задачу о голубоглазых похожи мало.

[epros]

Gortaur в сообщении #466340 писал(а):

для равновесия Нэша нужны смешанные стратегии

Да, я знаю. В игре чёт-нечет решением (на смешанных стратегиях) является: загадывать/отгадывать наугад с равными вероятностями. Однако нахождение такого решения не очень-то похоже на "определение реального события". Это вроде того, как если нас попросят определить реальное событие - какой стороной выпадет монета, а мы ответим, что монета выпадет любой стороной с равной вероятностью. Понятно, что такой ответ равносилен ответу "не знаю".

mclaudt в сообщении #466350 писал(а):

Нет, не совсем. Я о конкретной формализации для конкретной задачи, с конкретными дихотомиями, а вы приводите трудноформализуемую софистику. Попробуйте уточнить, что в вашем примере следует понимать под $\Omega$, а что под $\mathcal{P}_i$.

Почему "трудноформализуемую софистику"? Игра в чёт-нечет - стандартная игровая задача, основанная на концепции common knowledge (кстати, как и задача про голубоглазых), и формализуется она известными способами. То, что Вы рассматриваете один из возможных способов формализации - через некие "множества событий", ещё не говорит о том, что этот способ - единственный.

[mclaudt]

epros в сообщении #466373 писал(а):

Почему "трудноформализуемую софистику"? Игра в чёт-нечет - стандартная игровая задача, основанная на концепции common knowledge (кстати, как и задача про голубоглазых), и формализуется она известными способами.

Я этого не исключаю, просто чтобы приводить примеры и контрпримеры, их следует сначала привести к общей системе терминов. Common knowledge - пока слишком размытый термин, чтобы лишь из-за одного только факта применения этого термина считать наши с вами системы терминов общими. Мое утверждение "утверждение, что общее знание имеет ещё такое свойство, что участники логическими цепочками могут определить реальное событие, неверно" сформулировано исключительно в контексте конкретной формализации и конкретной процедуры исключения раскладов, лежащих по одну сторону дихотмий.

Мне просто было интересно услышать, какой способ приведения вашей задачи к обсуждаемой формализации вы имели в виду, когда приводили этот подтверждающий пример. С "трудноформализуемой софистикой" я поторопился.

[epros]

mclaudt в сообщении #466381 писал(а):

Мое утверждение ... сформулировано исключительно в контексте конкретной формализации

А я как раз говорил о свойствах общего знания, независимых от конкретного способа его формализации.
Кстати, наиболее интересное, по-моему, свойство заключается в том, что даже в случае, когда пространство событий состоит всего из двух альтернатив (загадает чёт или нечет), адекватное определение "общего знания" требует бесконечной последовательности аксиом.
По-моему, отсутствие конечной формулы, определяющей понятие, - это логическая проблема, независимо от того, в каких именно терминах мы пытаемся дать определение.

mclaudt в сообщении #466381 писал(а):

Мне просто было интересно услышать, какой способ приведения вашей задачи к обсуждаемой формализации вы имели в виду, когда приводили этот подтверждающий пример.

Честно, говоря, именно эта формализация меня не очень заинтересовала. Дело в том, что в задаче с ограниченным количеством голубоглазых (например, с тремя) конечно же можно обойтись без общего знания как такового - достаточно учесть только три уровня "знания о знании". Это сразу делает задачу не очень интересной. Интересна формулировка задачи для произвольного количества голубоглазых. Вот тогда уже приходится задуматься, как можно формализовать задачу конечным предложением.

[mclaudt]

epros в сообщении #466399 писал(а):

определение "общего знания" требует бесконечной последовательности аксиом.

В заглавной статье как раз описан способ избежать этой бесконечности в конъюнкциях при определении общего знания. Да и потом, что они в ней видят not well formed? Разве математика не знает примеров возможности записать один и тот же факт как бесконечной строкой конъюнкций, так и конечной записью с кванторами?

[epros]

mclaudt в сообщении #466410 писал(а):

В заглавной статье как раз описан способ избежать этой бесконечности в конъюнкциях при определении общего знания

Я дико извиняюсь, но некоторые технические проблемы мешают мне ознакомиться с этой статьёй.

mclaudt в сообщении #466410 писал(а):

Разве математика не знает примеров возможности записать один и тот же факт как бесконечной строкой конъюнкций, так и конечной записью с кванторами?

С конъюнциями и дизъюнкциями по значениям аргумента одной и той же формулы понятно: способ записать их конечной строкой есть. Но это не значит, что всегда можно записать одной строкой бесконечное множество любых предложений (которые ещё и друг на друга ссылаются)

[В.О.]

epros в сообщении #466399 писал(а):

в задаче с ограниченным количеством голубоглазых (например, с тремя) конечно же можно обойтись без общего знания как такового - достаточно учесть только три уровня "знания о знании".

Последовательность "уровней знания", в принципе может быть стационарной, начиная с некоторого номера. Т.е. повышение "уровня знания" (правильнее сказать "уровня рефлексии") перестает быть содержательным при достаточно больших номерах.
Но это, опять же, противоречит моему здравому смыслу. Даже в случае двух игроков последовательность "я знаю, что он знает, что я знаю..." т.е. $...K_1K_2K_1(E)$ должна состоять из бесконечного числа различных множеств. При конечных множествах $\Omega$ это невозможно. Отсюда вывод - для адекватной формализации общего знания множество $\Omega$ должно быть бесконечным.

[В.О.]

Итого:
1) формализация Ауманна не помогает в задаче о голубоглазых,
2) в этой задаче не нужно общее знание бесконечного уровня. Достаточно , общего знания конечного уровня.
3) в формализации Ауманна (в исполнении mclaudt) последовательность "я знаю А", "я знаю, что он знает А", я знаю, что он знает, что я знаю А" и т.д. не может иметь бесконечное число различных элементов.
Все это создает впечатление некоторой бестолковости и неадекватности формализации.

Рассмотрим еще один пример из http://plato.stanford.edu/entries/common-knowledge/
Неловкий официант обливает гостя супом. Если официант восклицает "Я виноват", то возникает знание о знании высокого уровня. Но как эти знания влияют на ситуацию?
Если честно, то моего английского не хватает. чтобы понять многкратных повторений в фразе Hence the waiter's announcement establishes the fourth-order knowledge claim: The guest knows that the waiter knows that she knows that he knows he is at fault. Кто здесь she, и кто здесь he? А может автор не совсем понимает, что пишет?

Я попробую разобраться в этой ситуации, анализируя эмоции гостя и официанта.
1. Сам факт обливания супом вызывает у гостя эмоцию возмущения.
2. Если официант демонстрирует эмоцию вины - ("Я виноват"), то у гостя возникает эмоция прощения.
3. Если официант видит, что его извинение понятно гостю, то у него возникает эмоция надежды, что ситуация благополучно рассосется.
Т.е. самый высокий уровень знания возникает у оцианта "официант знает, что гость знает, что официант знает о своей вине". Более высоких уровней знания, вызывающих эмоции, и влияющих на ситуацию больше видно. Но автор пишет о четырех уровнях.

[В.О.]

Вот еще один пример оттуда же.
Дилемма фермера (Hume ,1740).
У двух фермеров соседей вызревает очень большой урожай. Каждый из них по оттдельности не в состоянии его убрать и часть урожая пропадет. Если же они по очереди объединят усилия, то урожай будет убран полностью у обоих. Как они себя поведут?
Оказывается, что если оба фермера абсолютно рациональны и знают об этой рациональности друг друга, то они не будут помогать друг другу. Действительно, если первый фермер поможет второму, то после того, второму фермеру нет смысла помогать первому, т.к. он уже получил, что ему нужно. Поэтому и первый фермер, зная такое развитие событий, помогать второму не будет. Оба останутся в проигрыше. Абсолютная рациональность, оказывается, может навредить.
Реальные люди кроме рациональности обладают еще и эмоциями. Первый фермер руководствуясь эмоцией сочувствия, поможет второму. А второй, руководствуясь благодарностью, поможет первому.

Чтобы адекватно формализовать эти примеры, нужно иметь формальные модели эмоций. Авторы же абсолютно не касаются этого вопроса.

-- Вс авг 14, 2011 18:13:11 --

Но даже если рассматривать только задачу о голубоглазых (иначе она формулируется как проблема барбекю), в которой можно обойтись без анализа эмоций, то формализация Ауманна приводит к конечной последовательности уровней знания. Если требовать бесконечного разнообразия в последовательности "я знаю, что он знает, что я знаю..." то нужна другая формализация. Попробую таковую предложить.
Знание человека будем моделировать не разбиением вероятностного пространства, а вероятностными мерами на этом пространстве. Например, пусть есть два островитянина, первый с голубыми, второй с коричнивыми глазами. Тогда $\Omega =$ (ГГ,ГК,КГ,КК). Каждый из них знает цвет глаз другого, но не знает своего. Мера $P(\omega)$ означает знание первого, мера $Q(\omega)$ - знание второго. Тогда
Р(КГ) = Р(ГГ) = 0, Р(ГК) = Р(КК) =0.5
Равенство Р(ГК) = Р(КК) =0.5 можно интерпретировать как равное незнание о том голубые или коричневые у себя глаза. Можно также это интерпретировать как равную веру в оба эти факта.
Аналогично,
Q(КГ) = Q(КК) = 0, Q(ГГ) = Q(ГК) = 0.5

Знание о знании, т.е. знание второго уровня будет моделироваться мерой на пространстве мер. Множество вероятностных мер на множестве вероятностных мер на $\Omega =$ назовем мерами второго порядка, и т.д.
Т.е. знание энного порядка будет моделироваться мерой энного порядка.