Статья Robert J. Aumann (смерть голубоглазых)

[В.О.]

А возьмется ли кто-нибудь применить всю эту теорию к задаче о голубоглазых?

[В.О.]

http://classes.maxwell.syr.edu/ecn611/C ... wledge.pdf
Здесь обсуждаются проблемы формализации Ауманна.

[mclaudt]

Думаю, правильно рассмотреть не случай двух голубоглазых, а случай трех: для двух трудно различить множества-события "i знает свой цвет" и множества-элементы разбиений игроков - они часто совпадают. В случае же трех получится красивый кубик, события "i знает свой цвет" будут гранями, а элементы разбиений - ребрами.

Насколько я понимаю, вообще свойство исходной информации быть общим знанием не определяет печальный исход, (как это может показаться из того факта, что общую информацию иллюстрируют этой задачей), когда все игроки узнают о реальной ситуации через какое-то количество дней. Для иллюстрации допустим, между 2-ым и 3-м игроком стоит непрозрачная перегородка. Факт самоубийства все так же слышен всем, но цвета глаз 2 и 3 друг друга не видят. В таком случае объявление всем факта, что существуют голубоглазые, продолжает быть общим знанием (как и вообще любой факт, объявленный на площади). Однако они никогда не узнают, двое голубоглазых или трое, так что не самовыпилятся никогда.

Как мне кажется, в этой задаче для предрешения исхода важно именно особое свойство конкретных разбиений - через определенное количество шагов исключения знаний игроков, целиком принадлежащих областям, образуемым дихотомиями "i знает свой цвет", дойти до единственно возможного варианта (а именно такие исключения происходят, когда очередной игрок не убивается).

[epros]

mclaudt в сообщении #465689 писал(а):

Думаю, правильно рассмотреть не случай двух голубоглазых, а случай трех

Можно рассмотреть даже одного, только неинтересно будет.
В любом случае, "знание" и "знание о знании" - это разные вещи. Существование каждой следующей ступени "знания о знании о знании" должно декларироваться отдельной аксиомой, иначе оно не очевидно. Это иллюстрирует другой интересный "парадокс", который когда-то уже здесь озвучивался:

Муж в канун дня рождения жены говорит ей: "Завтра я подарю тебе тот браслет, который мы сегодня видели в магазине, но для тебя это будет сюрпризом". Жена думает: "Может ли это быть правдой? Очевидно нет, поскольку муж высказал нечто противоречивое". На следующий день муж дарит жене тот самый браслет. Получается, что то, что он сказал, оказалось правдой. В чём же ошибка жены?

mclaudt в сообщении #465689 писал(а):

Как мне кажется, в этой задаче для предрешения исхода важно именно особое свойство конкретных разбиений - через определенное количество шагов исключения знаний игроков, целиком принадлежащих областям, образуемым дихотомиями "i знает свой цвет", дойти до единственно возможного варианта (а именно такие исключения происходят, когда очередной игрок не убивается).

Задача про голубоглазых основана на аксиоматике, которая в реальной жизни вряд ли работает. А именно - на том, что каждый островитянин "неограниченно умный", т.е. он знает не только то, что может видеть своими глазами, но также и то, что "каждый знает, что каждый знает, что ..." и т.д. неограниченное количество раз. Если заложить более реалистичную аксиоматику, предполагающую не более одной-двух ступеней "знания о знании о знании", то никто убиваться не будет. Но логическая задача есть логическая задача...

[mclaudt]

epros в сообщении #465710 писал(а):

Это иллюстрирует другой интересный "парадокс", который когда-то уже здесь озвучивался:

"Сегодня препод по теории игр пообещал провести внезапную контрольную в течение семестра, потом задумался и выбросился из окна. Внезапно."

[epros]

(Оффтоп)

mclaudt в сообщении #465712 писал(а):

"Сегодня препод по теории игр пообещал провести внезапную контрольную в течение семестра, потом задумался и выбросился из окна. Внезапно."

Нэш, который заложил основы теории игр, как известно, страдал шизофренией. Это явно не случайность...

[mclaudt]

(Оффтоп)

epros в сообщении #465714 писал(а):

Нэш, который заложил основы теории игр, как известно, страдал шизофренией. Это явно не случайность...

Шарниры-ассоциации разболтаны и гнутся во все стороны. Мозг математика настолько настроен искать закономерности и аналогии, что выстраивает их там, где их нет вообще.

[Gortaur]

epros
Вы говорите о том, что называется bounded rationality.

[В.О.]

mclaudt в сообщении #465689 писал(а):

для двух трудно различить множества-события "i знает свой цвет" и множества-элементы разбиений игроков - они часто совпадают. В случае же трех получится красивый кубик, события "i знает свой цвет" будут гранями, а элементы разбиений - ребрами.

О какой формализации речь? Что есть $\Omega$ и что есть $\mathcal{P}_i$ ?

[epros]

Gortaur в сообщении #465902 писал(а):

Вы говорите о том, что называется bounded rationality.

Совершенно верно. Потому что unbounded rationality -это нечто:
1) корректность определения которого вызывает некоторые сомнения,
2) которое в реальности вряд ли встречается в чистом виде:
Когда я вижу нечто своими глазами, то я уверен, что узнал нечто. Когда я вижу, как некто видит нечто, то я почти уверен, что он узнал нечто. Когда я вижу, что некто видит, что я вижу нечто, то я уже со значительной долей сомнения подозреваю, что он узнал о том, что узнал я... В общем, с каждым следующим уровнем достоверность знания катастрофически падает.

[mclaudt]

В.О. в сообщении #465967 писал(а):

О какой формализации речь? Что есть $\Omega$ и что есть $\mathcal{P}_i$ ?

$\Omega$ - множество из восьми трехбитных элементов, определяющих цвет каждого игрока: $\{000, 001, \ldots, 110, 111\}$, для удобства выстроеное по вершинам куба. $\mathcal{P}_1$ - знание первого игрока о мире - в каждом случае он видит цвета остальных, но не знает свой, поэтому $\mathcal{P}_1=\{\{000, 100\}, \{001, 101\}, \{010, 110\}, \{011, 111\}\}$. Аналогично остальные. Далее, существуют три дихотомии $A_i$ "$i$ знает свой цвет", например для первого $A_1=\{\{000, 001, 010, 011\},\{100, 101, 110, 111\}\}$.

После того как объявляется, что на острове есть голубоглазые, из $\Omega$ вычеркивается 000, вычеркивается он и изо всех разбиений. После этого каждый каждый игрок $i$ своим несамоубийством сообщает остальным, что реальное положение дел по крайней мере не лежит в тех кусках его знания, целком лежащих в одном из подмножеств его дихотомии $A_i$ "$i$ знает свой цвет". В итоге методом исключения на второй день все приходят к единственно возможному состоянию 111.

Видно, что концепция common knowledge имеет лишь косвенное отношение к поведению игроков, а именно: равновесие при вычеркивании возможно только на подмножестве общего знания, не лежащего ни одним своим разбиением $i$-го игрока по одну сторону от его дихотомии.

Но тот факт, что сообщение на площади является common knowledge, никаким образом не определяет, самовыпилятся ли все игроки в случае более сложных разбиений. Все зависит не только от разбиений, но и от дихотомий. А сказаное на площади ограничивает множество возможных раскладов, поэтому тривиально и естественно является common knowledge как уточненное множество всех возможных событий (так как $\Omega$ всегда является общим знанием для любого своего элемента). Так что для иллюстрации эта задача подходит, но к конкретному печальному исходу притягивать за уши свойство исходного сообщения быть common knowledge не следует, это совершенно разные свойства.

[mclaudt]

mclaudt в сообщении #465990 писал(а):

равновесие при вычеркивании возможно только на подмножестве общего знания, не лежащего ни одним своим разбиением $i$-го игрока по одну сторону от его дихотомии.

Точнее, не лежащего ни одним элементом своего пересечения ни с одним разбиением $i$-го игрока по одну сторону от дихотомии этого игрока.

[Gortaur]

(Оффтоп)

Была бы доска почета тут - эту тему надо было бы ставить как пример корректной дискуссии в Дискуссионных темах, а то обычно демагоги набигают и грабят коро темы.

[mclaudt]

mclaudt в сообщении #466033 писал(а):

равновесие при вычеркивании возможно только на подмножестве общего знания

Пожалуй даже можно оставить просто "на подмножестве $\Omega$", в таком случае общее знание совсем не при делах.

Надо бы проследить, откуда вообще пошла идея упоминать эту головоломку при описании CK. Сам Ауманн применяет свой формализм для других задач и оперирует вероятностями.

Интересно было бы попытаться также похожим образом разобрать задачу о внезапной контрольной. Какие $\Omega$ и разбиения в ней выбрать?

[В.О.]

mclaudt в сообщении #465990 писал(а):

сообщение на площади является common knowledge

Общим знанием об элементе (0,0,0) по Ауманну является место встречи разбиений, содержащее элемент (0,0,0). У меня получается что-то непонятное. А у Вас?