Что такое

:
![$g, [g,g], [[g,g],[g,g]]$ $g, [g,g], [[g,g],[g,g]]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/e/d6ec59fa167270421a43ea7cf3f582dd82.png)
и т.д., поэтому это определение разрешимости, а не нильпотентности.
Доказательство утверждения из Желобенко Вам уже привели: в одну сторону это следует из определения, в другую из того, что

.
Что касается первого вопроса, то:
В алгебре есть очевидная фильтрация

. Тогда из нее следует, что

как линейное пространство есть прямая сумма факторов

. При этом сами факторы по построению являются абелевыми алгебрами (т.к. это абелианизации). Но они
не являются подалгебрами

, поэтому говорить о том, что

есть их прямая сумма как алгебра Ли вроде нельзя. Так что это градуировка в смысле векторного пространства, а не алгебры.
Все эти вещи полезно проделать руками на каноническом примере разрешимой алгебры -- на верхнетреугольных матрицах.