2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Количество различных раскрасок куба, формула Бернсайда
Сообщение02.07.2011, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Задача. Пользуясь формулой Бернсайда, найти число существенно различных раскрасок граней куба в 3 цвета. (Две раскраски считаются существенно различными, если они не могут быть переведены друг в друга путём вращения куба.)

(Формула Бернсайда)

Пусть группа $G$ действует на множестве $X$. $X/G$ --- множество орбит, $X^g$ --- множество неподвижных относительно $g\in G$ точек из $X$. Тогда $|X/G|=\dfrac 1{|G|}\sum\limits_{g\in G} |X^g|$.

Я не понял, как находить $X^g$. Ведь если вручную считать, то не видно преимущества с ручным подсчётом числа раскрасок сразу... Вот, пускай не куб, а квадрат и не три цвета, а два. Тогда $X$ --- множество раскрасок, $G$ --- группа вращений квадрата (4 элемента: повороты на $0,\frac{\pi}2,\pi,\frac{3\pi}2$; обозначим $g_0,g_1,g_2,g_3$), $X/G$ --- существенно различные раскраски. $X^{g_0}=2^4=16$, а остальные $X^{g_i}$ я считал вручную. Наверное, можно проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскраски куба, формула Бернсайда
Сообщение05.07.2011, 13:33 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Я могу только сказать, что аналогичную задачку в Богопольском Теория групп видел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскраски куба, формула Бернсайда
Сообщение05.07.2011, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Спасибо за книжку, но задача там не разобрана, а просто приведена в качестве упражнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскраски куба, формула Бернсайда
Сообщение05.07.2011, 18:57 
Заслуженный участник


06/05/11
278
Харьков
Для квадрата все можно сделать и в ручную, а как Вы собираетесь перебрать 729 раскрасок куба? Без Бернсайда не обойтись.

Возьмем, например, в качестве $g$ вращение куба на 90 град. вокруг оси, проходящей через центры верхней и нижней граней. Если некоторая раскраска остается неподвижной, значит, боковые грани окрашены в один и тот же цвет (а верхняя и нижняя - произвольно). Отсюда $|X^g|=27$. И так для каждого элемента группы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскраски куба, формула Бернсайда
Сообщение05.07.2011, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
Может Вам поможет ссылка http://dxdy.ru/topic38817.html, где ИСН популярно расклассифицировал все вращения куба.

-- Вт июл 05, 2011 20:36:37 --

Вот ещё интересная ссылки http://e-maxx.ru/bookz/files/stepanov_burnside.pdf,
http://www.webkursovik.ru/kartgotrab.asp?id=-645

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскраски куба, формула Бернсайда
Сообщение06.07.2011, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Спасибо всем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group