Количество различных раскрасок куба, формула Бернсайда

[caxap]

Задача. Пользуясь формулой Бернсайда, найти число существенно различных раскрасок граней куба в 3 цвета. (Две раскраски считаются существенно различными, если они не могут быть переведены друг в друга путём вращения куба.)

(Формула Бернсайда)

Пусть группа $G$ действует на множестве $X$. $X/G$ --- множество орбит, $X^g$ --- множество неподвижных относительно $g\in G$ точек из $X$. Тогда $|X/G|=\dfrac 1{|G|}\sum\limits_{g\in G} |X^g|$.

Я не понял, как находить $X^g$. Ведь если вручную считать, то не видно преимущества с ручным подсчётом числа раскрасок сразу... Вот, пускай не куб, а квадрат и не три цвета, а два. Тогда $X$ --- множество раскрасок, $G$ --- группа вращений квадрата (4 элемента: повороты на $0,\frac{\pi}2,\pi,\frac{3\pi}2$; обозначим $g_0,g_1,g_2,g_3$), $X/G$ --- существенно различные раскраски. $X^{g_0}=2^4=16$, а остальные $X^{g_i}$ я считал вручную. Наверное, можно проще?

[Sonic86]

Я могу только сказать, что аналогичную задачку в Богопольском Теория групп видел.

[caxap]

Спасибо за книжку, но задача там не разобрана, а просто приведена в качестве упражнения.

[bnovikov]

Для квадрата все можно сделать и в ручную, а как Вы собираетесь перебрать 729 раскрасок куба? Без Бернсайда не обойтись.

Возьмем, например, в качестве $g$ вращение куба на 90 град. вокруг оси, проходящей через центры верхней и нижней граней. Если некоторая раскраска остается неподвижной, значит, боковые грани окрашены в один и тот же цвет (а верхняя и нижняя - произвольно). Отсюда $|X^g|=27$. И так для каждого элемента группы.

[мат-ламер]

Может Вам поможет ссылка http://dxdy.ru/topic38817.html, где ИСН популярно расклассифицировал все вращения куба.

-- Вт июл 05, 2011 20:36:37 --

Вот ещё интересная ссылки http://e-maxx.ru/bookz/files/stepanov_burnside.pdf,
http://www.webkursovik.ru/kartgotrab.asp?id=-645

[caxap]

Спасибо всем.