Геометрия в университете

[ewert]

Morkonwen в сообщении #463353 писал(а):

Ищем пример задачи, которая хорошо решается обычной геометрией, но плохо аналитической.

А зачем? Ясно, что таких задач полно. Ну и что?

[alex1910]

VAL в сообщении #463273 писал(а):

Morkonwen в сообщении #463266 писал(а):

alex1910 в сообщении #463081 писал(а):

даны диагонали трапеции и расстояние между серединами оснований, (например 4,6,3) - найти высоту трапеции.

Не надо тут сверхчеловечничать - задача не простая. Вы выпишите ответ в общем символьном виде и сразу станет видно что у задачи нет простых решений, если только ваши условия не делают трапецию менее общей

$h^2=\frac{1}{4}\,\,\frac{((a+b)^2-(2c)^2)\,((2c)^2-(a-b)^2)}{2(a^2+b^2)-(2c)^2}$

И этот результат мне удалось получить только используя и ту и ту геометрию, да еще формулу Герона для площади треугольника

В идейном плане ничего сложного: найти высоту треугольника, если известны две стороны и медиана к третьей. Разумеется можно обойтись, исключительно школьной геометрией (причем без Герона), или исключительно аналитикой.
Другое дело, что, вычисления относительно громоздки. (Настолько, что я поленился их делать )

Только аналитика, без геом. соображений, не натолкнет Вас на мысль о преобразовании трапеции в треугольник.

[VAL]

Morkonwen в сообщении #463353 писал(а):

VAL в сообщении #463273 писал(а):

В идейном плане ничего сложного

А вы не поленитесь.

Ну, если Вы настаиваете...
Поместим начало координат в середину нижнего основания трапеции, а ось абсцисс проведем через нижнее основание.
Разнесем диагонали вдоль оси абсцисс на половинку на половинку верхнего основания.
Получим систему:

$$ \left\{ \begin{array}{l} b^2+h^2=9\\ (a-b)^2+h^2=16\\ (a+b)^2+h^2=36 \end{array} \left. $$

Здесь $a$ - полусумма оснований, а $(b;h)$ - координаты середины верхнего основания. Решая систему, находим $h=\frac{8\sqrt{34}}{17} $

Цитата:

В идейном плане и гравитация очень простая, но решите задачу трех тел! Согласны что не хороший пример?

На эту задачу Вы меня не уговорите

[Xaositect]

Эм, по-моему, как раз эта задача легче решается как раз алгеброй.
Вершины трапеции $A(-x_1,0)$, $B(x_1, 0)$, $C(x_2, h)$, $D(x_3, h)$
Даны $AD^2 = (x_3 + x_1)^2 + h^2$, $BC^2 = (x_2 - x_1)^2 + h^2$ и $(\frac{x_2 + x_3}{2})^2 + h^2$.
Учитывая, что $(x_1 + x_3) + (x_2 - x_1) = (x_3 + x_2)$, получаем $(x_1 + x_3)^2 + (x_2 - x_1)^2 + 2 (x_1 + x_3)(x_2 - x_1) = (x_3 + x_2)^2$ и далее $4(x_1 + x_3)^2 (x_2 - x_1)^2 = ((x_3 + x_2)^2 - (x_1 + x_3)^2 - (x_2 - x_1)^2)^2$ - биквадратное уравнение на $h$ у которого к тому же коэффициент при $h^4$ окажется равным 0.

[Morkonwen]

ewert в сообщении #463368 писал(а):

А зачем? Ясно, что таких задач полно.

Тогда выпишите какую нибудь! =)

ewert в сообщении #463368 писал(а):

Ну и что?

Да просто приколько!

alex1910 в сообщении #463396 писал(а):

Только аналитика, без геом. соображений, не натолкнет Вас на мысль о преобразовании трапеции в треугольник.

Меня то на это натолкнула только аналитика когда я получил, что

$\vec{R_1}+\vec{R_2}=2 \vec{D}$ R_1 и R_2 векторы диагонали, $\Vec{D}$- вектор соед центры оснований

Учитывая приведенные неплохие аналитические решения, то надо искать другой пример=)

[Munin]

mihailm в сообщении #461686 писал(а):

Ну например в линале нет векторной алгебры, но это мелочи.

Да вы смеётесь. Не только векторы, тензоры часть линала.

ewert в сообщении #461688 писал(а):

Нет, конечно.

Ничего конкретного не предъявлено.

[ewert]

Munin в сообщении #463881 писал(а):

mihailm в сообщении #461686 писал(а):

Ну например в линале нет векторной алгебры, но это мелочи.

Да вы смеётесь. Не только векторы, тензоры часть линала.

Между тем это правда: векторную алгебру изучают в школе и, соответственно, в курсе линейной алгебры она уже не нужна (разве что в качестве иллюстрации). Абстрактные векторы и геометрические -- это очень разные вещи. Последние, конечно, являются частным случаем первых, но -- очень специфическим случаем. Линейную алгебру имеет смысл вводить лишь после того, как они многократно обсосаны, причём именно с геометрической точки зрения. В противном случае абстрактные векторы так и останутся голыми абстракциями.

Munin в сообщении #463881 писал(а):

Ничего конкретного не предъявлено.

Пожалуйста -- навскидку: полярная система координат к линейной алгебре никакого отношения не имеет. Векторное и смешанное произведения, между прочим, прямого отношения тоже. Можно, конечно, сказать, что специально их учить не нужно: достаточно выучить полный курс линейной алгебры и разобраться с тензорами, а потом уж можно и поступать на первый курс. Только, видите ли, надевать штаны через голову не всем удобно.

[alcoholist]

Векторное и смешанные произведения -- самый линал: каноническая двоственность между $\Lambda^kV$ и $\Lambda^{n-k}V$ при наличии скалярного произведения в $V$ (${\rm dim} \,V=n$)

[ewert]

alcoholist в сообщении #463991 писал(а):

каноническая двоственность между $\Lambda^kV$ и $\Lambda^{n-k}V$ при наличии скалярного произведения в $V$ (${\rm dim} \,V=n$)

ewert в сообщении #463912 писал(а):

надевать штаны через голову не всем удобно

Между тем векторное и смешанное произведения нужны здесь и сейчас.

[alcoholist]

ewert в сообщении #463993 писал(а):

Между тем векторное и смешанное произведения нужны здесь и сейчас.

Не вижу противоречия. Конечно, эти произведения вводятся аксиоматически. И только потом понимаешь их обобщение на верхние размерности. Хотя, в курсе Постникова так с первого тома используется $\wedge$...

[Munin]

ewert в сообщении #463912 писал(а):

Пожалуйста -- навскидку: полярная система координат к линейной алгебре никакого отношения не имеет.

Хорошо, спасибо.

ewert в сообщении #463912 писал(а):

достаточно выучить полный курс линейной алгебры и разобраться с тензорами, а потом уж можно и поступать на первый курс.

Не приписывайте мне то, чего я никогда не говорил.

[ewert]

alcoholist в сообщении #464023 писал(а):

Конечно, эти произведения вводятся аксиоматически.

Вовсе не аксиоматически. А вполне конструктивно -- исходя из сугубо практических потребностей, сложившихся на момент изложения.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #464030 писал(а):

Не приписывайте мне то, чего я никогда не говорил.

Но подразумевали же -- совершенно точно. Вы как-то старательно смешиваете методические вопросы с иерархией дисциплин. Вам кажется, что если некоторая абстрактная теория на уровне формализма обслуживает прикладную дисциплину, то последней и вовсе не существует и уж тем более не следует ей учить. Вольному воля, конечно; но это явный оффтопик.

Прикиньте для сравнения: как бы Вы отнеслись ко мне, если б я заявил, что, дескать, "математика покрывает физику, как бык овцу"?...

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #464089 писал(а):

Но подразумевали же -- совершенно точно.

Телепатор у вас сбоит, точнее даже, врёт по-чёрному. Замените на другой или вообще не пользуйтесь.

ewert в сообщении #464089 писал(а):

Вы как-то старательно смешиваете методические вопросы с иерархией дисциплин.

Ровно наоборот, я не примешиваю методические вопросы повсюду, как это делаете вы.

ewert в сообщении #464089 писал(а):

Вам кажется, что если некоторая абстрактная теория на уровне формализма обслуживает прикладную дисциплину, то последней и вовсе не существует и уж тем более не следует ей учить.

Снова бред, сгенерированный вашим сломавшимся телепатором.

Единственный бит информации, который вы удосужились представить - это то, что вы полагаете отношения между аналитической геометрией и линейной алгеброй отношениями между прикладной дисциплиной и обслуживающим её аппаратом. На эту тему было бы интересно услышать развёрнутые пояснения. От остального избавьте.

[ewert]

Munin в сообщении #464097 писал(а):

вы полагаете отношения между аналитической геометрией и линейной алгеброй отношениями между прикладной дисциплиной и обслуживающим её аппаратом. На эту тему было бы интересно услышать развёрнутые пояснения.

Зачем?... Это тривиально. Линейная алгебра -- это в значительной степени язык аналитической геометрии, да. Но, во-первых, далеко не вся алгебра при этом нужна (скажем, жордановы формы не нужны, в то время как для ЛА они принципиальны). А во-вторых, многие специфические вопросы АГ не интересуют ЛА (с теми же полярными координатами Вы вроде как согласились; а ведь даже и эту тему можно продолжить -- скажем, в сторону сугубо геометрических характеристик кривых второго порядка).

Это всё тривиально. И это всё (плюс неизбежный и постоянно усугубляющийся дефицит времени) приходится учитывать при выстраивании учебных курсов. Но Вам это, разумеется, неинтересно.

-- Пт июл 01, 2011 23:27:20 --

Munin в сообщении #464097 писал(а):

я не примешиваю методические вопросы повсюду, как это делаете вы.

Да, кстати: а Вы не забыли, в какой ветке находитесь?...

[VAL]

ewert в сообщении #464109 писал(а):

Линейная алгебра -- это в значительной степени язык аналитической геометрии, да. Но, во-первых, далеко не вся алгебра при этом нужна (скажем, жордановы формы не нужны, в то время как для ЛА они принципиальны).

С замечанием в скобках не согласен.
Надеюсь, то, что аффинные преобразования относятся к АГ сомнению не подлежит? А от них до жордановой формы рукой подать.
Другое дело, что в вузовских курсах АГ обычно дается на первом курсе, как некий ликбез, и до структуры аффинного преобразования руки (и программа) обычно не доходят.