fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение22.06.2011, 21:42 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Fedya, забудьте на время эту гипотезу Каталана (она очень трудно доказывается). Эти задачи решаются при помощи довольно простых рассуждений. Вот их-то Вам и предлагается найти. Ведь на реальной олимпиаде всё нужно доказывать, кроме общеизвестных фактов, входящих в учебники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение22.06.2011, 21:57 


21/06/11
71
nnosipov
Хоршо. Оставлю это до завтра. На сегодня достаточно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение23.06.2011, 08:07 


23/01/07
3503
Новосибирск

(Оффтоп)



-- 23 июн 2011 12:28 --

По первой задаче... При варианте НЧН, где Ч - степень двойки, либо число $2^m-1$ (при четных $m>3$), либо число $2^m+1$ (при нечетных $m$) раскладывается на два взаимнопростых множителя. Наверное, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение23.06.2011, 13:27 


20/05/11
152
Батороев в сообщении #461315 писал(а):
При варианте НЧН, где Ч - степень двойки, либо число $2^m-1$ (при четных $m>3$), либо число $2^m+1$ (при нечетных $m$) раскладывается на два взаимнопростых множителя.


Нужно доказать... При ЧНЧ очевидно, что между степенями двойки разность не равна двум (кроме 2 и 4)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение24.06.2011, 06:33 


23/01/07
3503
Новосибирск
Lunatik в сообщении #461392 писал(а):
Батороев в сообщении #461315 писал(а):
При варианте НЧН, где Ч - степень двойки, либо число $2^m-1$ (при четных $m>3$), либо число $2^m+1$ (при нечетных $m$) раскладывается на два взаимнопростых множителя.


Нужно доказать...


При четных $m>3$ представляем $m=2k$ и раcписываем:

$(2^k)^2=(2^k+1)\times(2^k-1)$

При нечетных $m$ представляем $m=pk$, где $p$ - простое, $k$ - натуральное, и расписываем:

$(2^k)^p+1=(2^k+1)\times [(2^k)^{p-1}-(2^k)^{p-2}+...-2^k+1)]$

При $(2^k+1)$, кратном $p$, расписываем немного по-другому:

$(2^k)^p+1=p(2^k+1)\times \dfrac{(2^k)^{p-1}-(2^k)^{p-2}+...-2^k+1)}{p}$

Во всех случаях множители (разделены знаком умножения) не равны 1 и взаимно просты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение24.06.2011, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3834

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение24.06.2011, 12:41 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
RIP в сообщении #461800 писал(а):

(Оффтоп)


(Оффтоп)



-- Пт июн 24, 2011 17:04:02 --

Батороев
И всё-таки, хотелось бы доказать и такой факт: ни одно из чисел $2^m \pm 1$, где $m>1$, не является степенью (нечётного) числа, за единственным исключением: $2^3+1=3^2$. (Под степенью здесь понимается степень с показателем, большим единицы.) Вы этот факт пока только частично доказали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение24.06.2011, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3834

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение24.06.2011, 15:01 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
RIP в сообщении #461844 писал(а):
По-моему, то же самое рассуждение даёт, что Ваше равенство равносильно неравенству $3\varepsilon n^2+3\varepsilon^2n+\varepsilon^3<1$.

Да, кажется, здесь больше не выкопать. А вот ещё одна задачка, как раз для ТС (куда-то он пропал?). Натуральное число $n$ дает остаток $4$ при делении на $9$; нужно доказать неравенство $\{\sqrt[3]{n}\} \geqslant n^{-2/3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение24.06.2011, 16:24 


23/01/07
3503
Новосибирск
nnosipov в сообщении #461813 писал(а):

Батороев
И всё-таки, хотелось бы доказать и такой факт: ни одно из чисел $2^m \pm 1$, где $m>1$, не является степенью (нечётного) числа, за единственным исключением: $2^3+1=3^2$. (Под степенью здесь понимается степень с показателем, большим единицы.) Вы этот факт пока только частично доказали.

$2^m=n^k-1$

При четных $k$ имеем: $2^m=(n^{\frac{k}{2}}+1)(n^{\frac{k}{2}}-1)$, что указывает на то, что у числа $2^m$ должны быть два множителя, отличные друг от друга на $2$ и не имеющие общих делителей, кроме $2^1$. Такими множителями могут быть только $2$ и $4$.

При нечетных $k$ имеем: $2^m=(n-1)(n^{m-1}+...+n+1)$, где во второй скобке нечетное число, не равное 1, что для данного равенства недопустимо.

$2^m=n^k+1$

При четных $k$ уравнение справедливо только для $m=1$ (проверка остатками по основанию $8$).

При нечетных $k$ имеем $2^m=(n+1)(n^{k-1}-n^{k-2}+...-n+1)$, где во второй скобке опять имеем нечетное число, отличное от 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение24.06.2011, 17:01 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Да, вот такое доказательство я и имел в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение24.06.2011, 19:56 


23/01/07
3503
Новосибирск

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение24.06.2011, 20:16 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Батороев в сообщении #461926 писал(а):

(Оффтоп)


(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение26.06.2011, 14:55 


26/06/11
6
я участвую в тойже олимпиаде что и Fedya задачу (довести, що серед кожних трьох послідовних натуральних чисел, більших за число 9 хоча б одне має два різні прості дільники.) я решила и решается она относительно просто.

-- 26.06.2011, 16:08 --

ну а теорема Ферма-Эйлера эт хорошо, но я уверена что наша задача решается проще только как(( в этой теореме 4к+1, а у нас 4к+1 в квадрате, можно конечно одно из другого вывести , но это часный случай и поэтому не имеет смысла лёгкий случай через тяжёлую теорему((((

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь. Задача на делимость и антье.
Сообщение26.06.2011, 15:26 


19/05/10

3940
Россия
olia=)) в сообщении #462345 писал(а):
я участвую в тойже олимпиаде что и Fedya
...


Здорово, а в какой олимпиаде?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 67 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group