Будьте любезны сформулировать задачу вразумительно, не ограничиваясь нигде не определёнными обозначениями и числами.
Вразумительно? Нет проблем. Мне тоже не очень нравятся абстрактные частицы. Пусть тогда будут ракета (ИСО') и космический аппарат (КА – ИСО''), которые очень хорошо можно себе представить.
Вы – наблюдатель, находящийся в покоящейся ИСО Земли. Относительно Вас по оси

движется ракета (ИСО') со скоростью

, и, когда начало координат Вашей ИСО совпадает с началом координат ИСО' ракеты, в этот же момент от ракеты стартует КА (ИСО''), и движется со скоростью

(с точки зрения наблюдателей ИСО' ракеты) перпендикулярно оси ее движения, т.е. по оси

.
1) Если частица 2 у Вас меняет скорость, то это уже не ИСО''.
Условно стартует, условно. Может и просто в данный момент (момент совпадения начал координат всех ИСО), пролетать мимо ракеты, не суть важно. Так что, с момента старта КА движется в режиме ИСО без ускорений. И пусть даже не останавливается, а продолжает свое движение при

, т.е. пока рассматриваем первую половину задачи.
2) Если Вы штрихом обозначаете величины, определяемые в ИСО', которая связана с частицей 1, то

по определению.
Ничего подобного, если перейти в ИСО' ракеты, то тогда ИСО Земли будет двигаться относительно ИСО' в противоположном направлении со скоростью

относительно оси

.
А нужна ли Вам вообще система отсчёта, связанная с этой частицей?
А как же? Нам же по условию задачи необходимо знать, какие показания

будут на часах КА в момент времени

.
Согласно условию задачи, необходимо вычислить - с какой скоростью КА движется относительно Вашей покоящейся ИСО, каков, с Вашей точки зрения, угол расхождения между курсами ракеты и КА, в какой точке координат Вашей ИСО окажется КА в тот момент, когда по Вашим часам пройдет

секунд, а так же, какие показания будут в этот момент на часах ракеты

и часах КА

с Вашей точки зрения (с Вашей точки зрения – с точки зрения наблюдателей покоящейся ИСО Земли)?
Только ваше решение и картинки не дают качественного представления о том, что происходит.
В моем представлении, вводных данных более чем достаточно для решения этой, относительно несложной задачи для частного случая движения КА. А при решении подобных задач, как раз и появляется качественное представление о том, что происходит.