Оранжевый треугольник

[Xenia1996]

mihailm в сообщении #457164 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #457085 писал(а):

...
Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке
...

это из школьного учебника входит в программу

Источник - в студию!

-- Вс июн 12, 2011 18:38:53 --

MrDindows в сообщении #457105 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #457085 писал(а):

2) Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке (это, кстати, не так уж и очевидно - а вдруг существует остроугольный треугольник, высота которого не проходит через точку пересечения двух других высот?).

Ну это по теореме Чевы доказывается.
$AC_1=b\cos A, \ BC_1=a \cos B, \ BA_1=c\cos B, \ CA_1=b\cos C,\\ CB_1=a \cos C, \ AB_1=c \cos A \\$

$\frac{AB_1}{B_1C}\cdot\frac{CA_1}{A_1B}\cdot\frac{BC_1}{C_1A}=1$

Именно на теорему Чевы я и намекала.

[MrDindows]

В Украине теорема Чевы входит в программу 8-го класса с углублённым изучением математики)

[Xenia1996]

MrDindows в сообщении #457174 писал(а):

В Украине теорема Чевы входит в программу 8-го класса с углублённым изучением математики)

(Оффтоп)

А Украина признаёт двойное гражданство? А на киевский мехмат меня возьмут?

[MrDindows]

Xenia1996 в сообщении #457177 писал(а):

MrDindows в сообщении #457174 писал(а):

В Украине теорема Чевы входит в программу 8-го класса с углублённым изучением математики)

(Оффтоп)

А Украина признаёт двойное гражданство? А на киевский мехмат меня возьмут?

Не признаёт( А на мехмат возьмут, туда вроде как не тяжело попасть)

[mihailm]

Xenia1996 в сообщении #457167 писал(а):

...
Источник - в студию!
...

Программу или учебник?)

[Xenia1996]

mihailm в сообщении #457182 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #457167 писал(а):

...
Источник - в студию!
...

Программу или учебник?)

По Вашему желанию.

[ewert]

Xenia1996 в сообщении #457082 писал(а):

Более того, доказать, что высоты любого остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, не так уж просто (несмотря на кажущуюся очевидность).

Вполне тривиально, что для неостроугольного треугольника точка пересечения высот не может лежать внутри. В любом случае: непонятно, зачем пудрить мозги совершенно никчемушными высотами.

mihailm в сообщении #457164 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #457085 писал(а):

Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке

это из школьного учебника входит в программу

Не уверен. Мне смутно припоминается, что у нас в школе как раз для высот этой теоремы и не было. Во всяком случае, я школьного доказательства не припомню (через векторную-то алгебру это легко доказывается).

zhekas в сообщении #457104 писал(а):

1) Если угол, например $\alpha$, не острый.

Тогда $\beta+\gamma\leqslant\frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \beta\leqslant\frac{\pi}{2}-\gamma\ \Rightarrow\ \sin\beta\leqslant\sin(\frac{\pi}{2}-\gamma)=\cos\gamma$, вот и всё, и никаких Чев.

[TOTAL]

Через каждую вершину тр-ка провести прямую параллельно противолежащей стороне. Эти прямые образуют треугольник, для которого высоты исходного тр-ка являются срединными перпендикулярами, которые в любой школе пересекаются в одной точке.

[gris]

А вдруг они пересекаются не внутри исходного треугольника. Тут же ищется школьное доказательство того, что для остроугольного треугольника пересекаются именно высоты как отрезки, а не как прямые, на которых они лежат.

[alex1910]

Xenia1996 в сообщении #457082 писал(а):

nnosipov в сообщении #457080 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #457068 писал(а):

Доказать, что высоты оранжевого треугольника пересекаются в одной точке.

Столь замысловато Ксения хочет сказать, что оранжевый треугольник будет остроугольным.

Более того, доказать, что высоты любого остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, не так уж просто (несмотря на кажущуюся очевидность).

Оставьте в покое теорему Чевы. Просто проведите через вершины треугольника (не обязательно остроугольного) прямые, параллельные противолежащим сторонам. Эти прямые образуют новый большой треугольник, серединные перпендикуляры которого совпадают с высотами исходного треугольника. ВСЕ!

Другой вариант - тупо применить вектора, разложение по базису и скалярное произведение. При этом можно также получить естественное обобщение теоремы о высотах.

Кстати, почему-то теорема о высотах впервые была доказана во времена Эйлера (кажется Эйлер и доказал). Видимо греки считали это очевидным или не интересовались высотами.

[ewert]

gris в сообщении #458254 писал(а):

А вдруг они пересекаются не внутри исходного треугольника.

А это тривиально: для остроугольного треугольника точка пересечения (если она есть) может лежать только внутри, для тупоугольного -- только снаружи.

[gris]

После трёхчасового оцепенения соглашусь. Да, в остроугольном треугольнике высота лежит между соответствующих сторон, то есть внутри треугольника. И общая точка, если она есть, лежит внутри. Так вот: почему высоты пересекаются?
Срединные перпендикуляры (лучи) внешнего треугольника содержат высоты (отрезки), но не равняются им.
Впрочем, наверняка есть решение прямо от аксиом. Но совершенно невозможно сосредоточиться.

[TOTAL]

gris в сообщении #458338 писал(а):

Так вот: почему высоты пересекаются?

А с медианами и биссектрисами проблем нет?
Они благополучно пересекаются или трагически разминаются?

[gris]

Точка пересечения биссектрис любого треугольника — это центр вписанной окружности, внутренность которой целиком лежит внутри треугольника.

Точка пересечения медиан любого треугольника делит каждую в отношении 1:2, то есть лежит на медиане как на отрезке, который лежит внутри треугольника.

С высотой такого очевидного соображения не возникает.
Надо звать Sasha2. Уж он наверняка знает.

[nnosipov]

TOTAL в сообщении #458345 писал(а):

Они благополучно пересекаются или трагически разминаются?

Они конкурируют.