2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 12:53 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Назовём треугольник оранжевым, если для его углов $\alpha, \beta, \gamma$ выполняется система неравенств:

$$
\begin{cases}
\sin\alpha>\cos\beta \\
\sin\beta>\cos\gamma \\
\sin\gamma>\cos\alpha \\
\end{cases}
$$

Доказать, что высоты оранжевого треугольника пересекаются в одной точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 12:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
А они и для серобуромалинового пересекаются в одой точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 13:02 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
gris в сообщении #457069 писал(а):
А они и для серобуромалинового пересекаются в одой точке.

Высоты не суть продолжения высот, а иметь общую точку не означает пересекаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 13:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Точно. Тогда надо показать, что он остроугольный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 13:09 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
gris в сообщении #457073 писал(а):
Точно. Тогда надо показать, что он остроугольный.

Угу :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 13:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Ну там связано с синусом и косинусом по разные стороны $45^{\circ}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 13:14 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
gris в сообщении #457077 писал(а):
Ну там связано с синусом и косинусом по разные стороны $45^{\circ}$.

При чём здесь 45?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 13:14 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Xenia1996 в сообщении #457068 писал(а):
Доказать, что высоты оранжевого треугольника пересекаются в одной точке.

Столь замысловато Ксения хочет сказать, что оранжевый треугольник будет остроугольным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 13:17 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #457080 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #457068 писал(а):
Доказать, что высоты оранжевого треугольника пересекаются в одной точке.

Столь замысловато Ксения хочет сказать, что оранжевый треугольник будет остроугольным.

Более того, доказать, что высоты любого остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, не так уж просто (несмотря на кажущуюся очевидность).

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 13:22 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Xenia1996 в сообщении #457082 писал(а):
доказать, что высоты любого остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, не так уж просто

А зачем доказывать очевидные вещи? В геометрии полно нетривиальных задач и теорем, лучше их доказывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 13:24 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #457083 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #457082 писал(а):
доказать, что высоты любого остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, не так уж просто

А зачем доказывать очевидные вещи? В геометрии полно нетривиальных задач и теорем, лучше их доказывать.

В общем случае, Вы, возможно, правы. Но в данном конкретном случае доказательство будет крайне интересным. Советую попытаться.

-- Вс июн 12, 2011 14:22:16 --

Задача-таки разбивается на две подзадачи:

1) Доказать, что оранжевый треугольник является остроугольным.
2) Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке (это, кстати, не так уж и очевидно - а вдруг существует остроугольный треугольник, высота которого не проходит через точку пересечения двух других высот?).

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 14:57 


15/03/11
137
1) Если угол, например $\alpha$, не острый. То есть $\alpha\ge90$, а следовательно $\cos\alpha\le0$. То не выполняется второе неравенство, так как
$$\sin(\beta)=\sin{(\gamma+\alpha)}=\sin\gamma\cos\alpha+\cos\gamma\sin\alpha\le\cos\gamma\sin\alpha\le\cos\gamma$$
Следовательно треугольник остроугольный

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 14:58 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Xenia1996 в сообщении #457085 писал(а):
2) Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке (это, кстати, не так уж и очевидно - а вдруг существует остроугольный треугольник, высота которого не проходит через точку пересечения двух других высот?).

Ну это по теореме Чевы доказывается.
$AC_1=b\cos A, \ BC_1=a \cos B, \ BA_1=c\cos B, \ CA_1=b\cos C,\\ CB_1=a \cos C, \ AB_1=c \cos A \\$

$\frac{AB_1}{B_1C}\cdot\frac{CA_1}{A_1B}\cdot\frac{BC_1}{C_1A}=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 18:13 


02/04/11
956
Xenia1996 в сообщении #457071 писал(а):
Выделите текст в сообщении

Действительно, высоты - это высоты, прямые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 18:33 


19/05/10

3940
Россия
Xenia1996 в сообщении #457085 писал(а):
...
Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке
...

это из школьного учебника входит в программу

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group