2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 18:38 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
mihailm в сообщении #457164 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #457085 писал(а):
...
Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке
...

это из школьного учебника входит в программу

Источник - в студию!

-- Вс июн 12, 2011 18:38:53 --

MrDindows в сообщении #457105 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #457085 писал(а):
2) Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке (это, кстати, не так уж и очевидно - а вдруг существует остроугольный треугольник, высота которого не проходит через точку пересечения двух других высот?).

Ну это по теореме Чевы доказывается.
$AC_1=b\cos A, \ BC_1=a \cos B, \ BA_1=c\cos B, \ CA_1=b\cos C,\\ CB_1=a \cos C, \ AB_1=c \cos A \\$

$\frac{AB_1}{B_1C}\cdot\frac{CA_1}{A_1B}\cdot\frac{BC_1}{C_1A}=1$

Именно на теорему Чевы я и намекала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 18:50 
Заслуженный участник


02/08/10
629
В Украине теорема Чевы входит в программу 8-го класса с углублённым изучением математики)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 18:55 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
MrDindows в сообщении #457174 писал(а):
В Украине теорема Чевы входит в программу 8-го класса с углублённым изучением математики)

(Оффтоп)

А Украина признаёт двойное гражданство? А на киевский мехмат меня возьмут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 18:56 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Xenia1996 в сообщении #457177 писал(а):
MrDindows в сообщении #457174 писал(а):
В Украине теорема Чевы входит в программу 8-го класса с углублённым изучением математики)

(Оффтоп)

А Украина признаёт двойное гражданство? А на киевский мехмат меня возьмут?

Не признаёт( А на мехмат возьмут, туда вроде как не тяжело попасть)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 19:04 


19/05/10

3940
Россия
Xenia1996 в сообщении #457167 писал(а):
...
Источник - в студию!
...

Программу или учебник?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение12.06.2011, 19:05 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
mihailm в сообщении #457182 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #457167 писал(а):
...
Источник - в студию!
...

Программу или учебник?)

По Вашему желанию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение15.06.2011, 09:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Xenia1996 в сообщении #457082 писал(а):
Более того, доказать, что высоты любого остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, не так уж просто (несмотря на кажущуюся очевидность).

Вполне тривиально, что для неостроугольного треугольника точка пересечения высот не может лежать внутри. В любом случае: непонятно, зачем пудрить мозги совершенно никчемушными высотами.

mihailm в сообщении #457164 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #457085 писал(а):
Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке
это из школьного учебника входит в программу

Не уверен. Мне смутно припоминается, что у нас в школе как раз для высот этой теоремы и не было. Во всяком случае, я школьного доказательства не припомню (через векторную-то алгебру это легко доказывается).

zhekas в сообщении #457104 писал(а):
1) Если угол, например $\alpha$, не острый.

Тогда $\beta+\gamma\leqslant\frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \beta\leqslant\frac{\pi}{2}-\gamma\ \Rightarrow\ \sin\beta\leqslant\sin(\frac{\pi}{2}-\gamma)=\cos\gamma$, вот и всё, и никаких Чев.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение15.06.2011, 10:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5493
Нов-ск
Через каждую вершину тр-ка провести прямую параллельно противолежащей стороне. Эти прямые образуют треугольник, для которого высоты исходного тр-ка являются срединными перпендикулярами, которые в любой школе пересекаются в одной точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение15.06.2011, 10:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
А вдруг они пересекаются не внутри исходного треугольника. Тут же ищется школьное доказательство того, что для остроугольного треугольника пересекаются именно высоты как отрезки, а не как прямые, на которых они лежат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение15.06.2011, 11:46 


21/07/10
555
Xenia1996 в сообщении #457082 писал(а):
nnosipov в сообщении #457080 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #457068 писал(а):
Доказать, что высоты оранжевого треугольника пересекаются в одной точке.

Столь замысловато Ксения хочет сказать, что оранжевый треугольник будет остроугольным.

Более того, доказать, что высоты любого остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, не так уж просто (несмотря на кажущуюся очевидность).


Оставьте в покое теорему Чевы. Просто проведите через вершины треугольника (не обязательно остроугольного) прямые, параллельные противолежащим сторонам. Эти прямые образуют новый большой треугольник, серединные перпендикуляры которого совпадают с высотами исходного треугольника. ВСЕ!

Другой вариант - тупо применить вектора, разложение по базису и скалярное произведение. При этом можно также получить естественное обобщение теоремы о высотах.

Кстати, почему-то теорема о высотах впервые была доказана во времена Эйлера (кажется Эйлер и доказал). Видимо греки считали это очевидным или не интересовались высотами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение15.06.2011, 12:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gris в сообщении #458254 писал(а):
А вдруг они пересекаются не внутри исходного треугольника.

А это тривиально: для остроугольного треугольника точка пересечения (если она есть) может лежать только внутри, для тупоугольного -- только снаружи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение15.06.2011, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
После трёхчасового оцепенения соглашусь. Да, в остроугольном треугольнике высота лежит между соответствующих сторон, то есть внутри треугольника. И общая точка, если она есть, лежит внутри. Так вот: почему высоты пересекаются?
Срединные перпендикуляры (лучи) внешнего треугольника содержат высоты (отрезки), но не равняются им.
Впрочем, наверняка есть решение прямо от аксиом. Но совершенно невозможно сосредоточиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение15.06.2011, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5493
Нов-ск
gris в сообщении #458338 писал(а):
Так вот: почему высоты пересекаются?

А с медианами и биссектрисами проблем нет?
Они благополучно пересекаются или трагически разминаются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение15.06.2011, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Точка пересечения биссектрис любого треугольника — это центр вписанной окружности, внутренность которой целиком лежит внутри треугольника.

Точка пересечения медиан любого треугольника делит каждую в отношении 1:2, то есть лежит на медиане как на отрезке, который лежит внутри треугольника.

С высотой такого очевидного соображения не возникает.
Надо звать Sasha2. Уж он наверняка знает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оранжевый треугольник
Сообщение15.06.2011, 17:00 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
TOTAL в сообщении #458345 писал(а):
Они благополучно пересекаются или трагически разминаются?

Они конкурируют.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group