линейная алгебра. линейные операторы, линейные пространства

[sasha_r]

Пусть $V$ линейное пространство над полем $F$. Предположим что $dimV=n$. И пусть$T_1,T_2:V\rightarrow F$ линейные операторы, так что $T_1\not=0,T_2\not=0$. Пометим $N_1=KerT_1, N_2=KerT_2$ дано что $N_1\not=N_2$/ Найти $dim\left(N_1\cap\\N_2\right)$
Вопрос экзаменационный, буду признателен за помощь

[ewert]

Нахождение ядра нетривиального функционала сводится к общему решению одного линейного однородного уравнения. Соответственно, пересечение ядер -- это множество решений системы уравнений.

[sasha_r]

то, что нахождение ядра это множество решений однородной системы, я знаю вопрос в другом - наити размерность пересечения ядер двух разных операторов...

[mihailm]

операторы ведь никак не связаны между собой?
ну разная размерность пересечения может быть даже если размерности ядер фиксированные

[Kallikanzarid]

$V \cong \operatorname{ker} T \oplus \operatorname{im} T$, причем $\operatorname{ker}T \neq V$, следовательно $\operatorname{dim}\operatorname{ker}T = n - 1$, где $T \in \{T_1, T_2\}$ (объясните, почему). Ну а из того, что ядра $T_1$ и $T_2$ не совпдают, легко сделать вывод, что эти операторы линейно независимы, а значит пересечение их ядер будет иметь размерность угадайте какую :)

[mihailm]

Действительно это ж функционалы, проглядел)

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #456994 писал(а):

$V \cong \operatorname{ker} T \oplus \operatorname{im} T$,

Как-то это несколько легкомысленно. Вообще говоря, складываются лишь размерности.

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #457032 писал(а):

Как-то это несколько легкомысленно. Вообще говоря, складываются лишь размерности.

Это не "несколько легкомысленно", это первая теорема об изоморфизме в категории векторных пространств и линейных операторов, где каждая короткая точная последовательность расщепляется

[Kallikanzarid]

См.:
http://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphis ... ms#Modules
http://en.wikipedia.org/wiki/Splitting_lemma

-- Вс июн 12, 2011 18:09:06 --

Каждое векторное пространство - это модуль, и легко доказать, что каждая короткая точная последовательность векторных пространств расщепляется (достаточно построить проекцию $V$ на $\operatorname{ker}T \subset V$, что особенно легко сделать в конечномерном случае, но можно сделать и не опираясь на базисы). Берем последовательность

$$0 \to \operatorname{ker}T \to V \to \operatorname{im}T \to 0,$$

и из ее расщепляемости немедленно получаем искомое:

$$V \cong \operatorname{ker}T \oplus \operatorname{im}T.$$

[nnosipov]

Kallikanzarid в сообщении #457099 писал(а):

$$V \cong \operatorname{ker}T \oplus \operatorname{im}T.$$

Ерунда. Сказали же, складываются только размерности.

[Kallikanzarid]

nnosipov
Ну раз вы настаиваете

[Xaositect]

nnosipov в сообщении #457110 писал(а):

Ерунда. Сказали же, складываются только размерности.

А там собственно и написано только то, что размерности складываются. Там же не равенство, а изоморфизм.

[nnosipov]

Xaositect в сообщении #457161 писал(а):

А там собственно и написано только то, что размерности складываются. Там же не равенство, а изоморфизм.

А $\oplus$ --- это случаем не знак прямой суммы?

[Xaositect]

Да. Внешняя прямая сумма.

[nnosipov]

Xaositect в сообщении #457166 писал(а):

Да. Внешняя прямая сумма.

Если речь идёт о линейном операторе, то эта запись двусмысленна. И главное, зачем так сложно писать о простых вещах?