линейная алгебра. линейные операторы, линейные пространства

[Kallikanzarid]

nnosipov в сообщении #457623 писал(а):

У Беклемишева, например, и так, и эдак.

Специально посмотрел: издание 1998 г., стр. 201. Что-то у вас с памятью

-- Пн июн 13, 2011 22:54:20 --

Joker_vD в сообщении #457628 писал(а):

Это, правда, не учебник теории, там упор на решение типовых задач по линалу, но тем не менее.

Это не считается

[nnosipov]

Kallikanzarid в сообщении #457630 писал(а):

издание 1998 г., стр. 201

Там сказано, что для обозначения прямой суммы подпространств используются два обозначения: плюс с точкой и $\oplus$. Ровно это я и имел в виду. И не хамите, студент.

[Kallikanzarid]

nnosipov в сообщении #457638 писал(а):

Там сказано, что для обозначения прямой суммы подпространств используются два обозначения: плюс с точкой и $\oplus$. Ровно это я и имел в виду.

Таки не сказано. Упс, да?

nnosipov в сообщении #457638 писал(а):

И не хамите, студент.

Это от человека^W тролля, который сказал мне "Ерунда. Сказали же, складываются только размерности." И был неправ, чего не признал. И затем, когда ему указали на то, что прямая сумма пространств играет более фундаментальную роль, чем сумма подпространств, назвал меня бурбакистом (вы хоть знаете, что это слово значит?). Да я просто хамло!

[Joker_vD]

Kallikanzarid в сообщении #457630 писал(а):

Это не считается

А что считается? Учебник, по которому нам читали, пойдет? Тогда держите: А.В. Козак, В.С. Пилиди, "Линейная алгебра". В Интернете его нету, но обзначения там те же.

[Kallikanzarid]

Joker_vD в сообщении #457645 писал(а):

А что считается? Учебник, по которому нам читали, пойдет? Тогда держите: А.В. Козак, В.С. Пилиди, "Линейная алгебра". В Интернете его нету, но обзначения там те же.

Ок, Бог с вами :) Но общепринятое обозначение - $\oplus$ или, реже, просто $+$, я гарантирую это/

[caxap]

(Оффтоп)

Нашли о чём спорить...

[Kallikanzarid]

(Оффтоп)

Отличная тема: спорить можно долго, и никто не почувствует себя неправым Но жалко, что nnosipov так быстро устранился из дискусси о факториазации вложений двух подпространств через их прямую сумму

[Kaspvar]

sasha_r в сообщении #456676 писал(а):

Пусть $V$ линейное пространство над полем $F$. Предположим что $dimV=n$. И пусть$T_1,T_2:V\rightarrow F$ линейные операторы, так что $T_1\not=0,T_2\not=0$. Пометим $N_1=KerT_1, N_2=KerT_2$ дано что $N_1\not=N_2$/ Найти $dim\left(N_1\cap\\N_2\right)$
Вопрос экзаменационный, буду признателен за помощь

С каких пор линейный оператор стал называться функционалом? Или я слеп или меня не так учили?

[Kallikanzarid]

Kaspvar в сообщении #457677 писал(а):

С каких пор линейный оператор стал называться функционалом?

Пусть $V$ - в/п над полем $K$. Линейным функционалом называют линейный оператор вида $f: V \to K$.

[ewert]

Kaspvar в сообщении #457677 писал(а):

С каких пор линейный оператор стал называться функционалом?

Функционал -- это частный случай оператора, если поле интерпретируется как одномерное линейное пространство.

Kallikanzarid в сообщении #457648 писал(а):

общепринятое обозначение - $\oplus$ или, реже, просто $+$, я гарантирую это/

Это Вы опрометчиво гарантируете. Просто плюс -- это просто сумма, и уж таким-то образом никому в здравом уме прямую сумму обозначать в голову точно не придёт.

В ЛГУ было принято помечать прямую сумму именно точкой, кружочек же был зарезервирован за ортогональной суммой. И это весьма разумно, поскольку ортогональные суммы всё-таки очень существенно выделяются среди всех прямых; соответственно, и обозначения следует разводить. Значок $\perp$ в качестве знака суммы, разумеется, нелеп.

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #458244 писал(а):

ортогональные суммы всё-таки очень существенно выделяются среди всех прямых

ЕМНИП забывающий функтор переводит ортогональную сумму в прямую, так что это спорно.

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #458285 писал(а):

забывающий функтор переводит ортогональную сумму в прямую

не знаю, что за функтор такой, но никого никуда переводить не надо: ортогональная сумма -- это частный случай прямой.

[sasha_r]

Kallikanzarid в сообщении #456994 писал(а):

$V \cong \operatorname{ker} T \oplus \operatorname{im} T$, причем $\operatorname{ker}T \neq V$, следовательно $\operatorname{dim}\operatorname{ker}T = n - 1$, где $T \in \{T_1, T_2\}$ (объясните, почему). Ну а из того, что ядра $T_1$ и $T_2$ не совпдают, легко сделать вывод, что эти операторы линейно независимы, а значит пересечение их ядер будет иметь размерность угадайте какую :)

$n-2$ ... спасибо за подсказку )

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #458452 писал(а):

не знаю, что за функтор такой, но никого никуда переводить не надо: ортогональная сумма -- это частный случай прямой.

Это неверно, на векторных пространствах, вообще говоря, не задано скалярное произведение, поэтому нельзя говорить об ортогональной сумме как о частном случае прямой. С другой стороны, пусть $V_f$ и $W_g$ - векторные пространства со скалярными произведениями. Тогда их ортогональной суммой, ЕМНИП, будет $(V \oplus W)_h$, где $h$ однозначно определяется равенствами $h|_V = f$, $h|_W = g$, $h(v, w) = 0$ для любых $v \in V$ и $w \in W$. Т.е. тут речь идет не о частном случае, а о дополнительной структуре, что можно формально выразить с помощью забывающего функтора $F(V_f) = V$ для любого векторного пространства со скалярным произведением $V_f$ и $F(A) = A$ для любого морфизма $A: V_f \to W_g$. Получим попросту $F(V_f \oplus W_g) = V \oplus W$, где $\oplus$ обозначает копроизведения в соответствующих категориях.

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #458571 писал(а):

на векторных пространствах, вообще говоря, не задано скалярное произведение, поэтому нельзя говорить об ортогональной сумме как о частном случае прямой.

Всё верно с точностью до наоборот. Именно поэтому ортогональная сумма и является частным случаем прямой: прямая сумма определена во всех линейных пространствах, а если в них есть ещё и дополнительная структура в виде скалярного произведения, то некоторые из прямых сумм вдруг оказываются ещё и ортогональными. Всё остальное --совершенно ненужный набор значков. В частности:

Kallikanzarid в сообщении #458571 писал(а):

их ортогональной суммой, ЕМНИП, будет $(V \oplus W)_h$, где $h$ однозначно определяется равенствами $h|_V = f$, $h|_W = g$, $h(v, w) = 0$

Кто такой $h$?... В последнем равенстве он используется откровенно не так, как в двух предыдущих, и всё вместе явно не соответствует самому первому выражению. Кроме того, говорить о какой бы то ни было сумме двух изначально никак не связанных друг с другом пространств неуместно. Напрягши все телепатические способности, можно, конечно, догадаться, что имелось в виду декартово произведение с введённой на нём естественной линейной структурой, а за ней и гильбертовой; ну так и надо было честно говорить.

(Оффтоп)

sasha_r в сообщении #458537 писал(а):

$n-2$ ... спасибо за подсказку )

Ух ты, и пяти суток не прошло. Вот это скорость!