линейная алгебра. линейные операторы, линейные пространства

[ewert]

nnosipov в сообщении #457163 писал(а):

А $\oplus$ --- это случаем не знак прямой суммы?

Нет. Это знак ортогональной суммы.

[nnosipov]

ewert в сообщении #457179 писал(а):

Нет. Это знак ортогональной суммы.

А почему бы и нет? Не удивлюсь, если ещё какой-нибудь четвёртый смысл появится.

[Kallikanzarid]

nnosipov в сообщении #457170 писал(а):

Если речь идёт о линейном операторе, то эта запись двусмысленна.

Не просветите?

-- Вс июн 12, 2011 23:12:54 --

ewert в сообщении #457179 писал(а):

Нет. Это знак ортогональной суммы.

Круто, еще варианты будут?

-- Вс июн 12, 2011 23:14:09 --

Xaositect в сообщении #457161 писал(а):

А там собственно и написано только то, что размерности складываются. Там же не равенство, а изоморфизм.

Угу, кстати, этот изоморфизм выполняется и для бесконечномерных векторных пространств тоже.

[nnosipov]

Знак $\oplus$ используется и для обозначения внутренней прямой суммы. Если $\varphi:V \to V$ --- линейный оператор, то такое толкование вполне естественно.

[Kallikanzarid]

nnosipov
Что такое внутренняя прямая сумма и чем она отличается от внешней?

[nnosipov]

Kallikanzarid в сообщении #457192 писал(а):

Что такое внутренняя прямая сумма и чем она отличается от внешней?

Неужто не знаете, что такое прямая сумма подпространств данного пространства? Подтвердите.

[Kallikanzarid]

nnosipov в сообщении #457193 писал(а):

Неужто не знаете, что такое прямая сумма подпространств данного пространства? Подтвердите.

Я не знаю, чем она отличается от внешней суммы.

[Oleg Zubelevich]

[Kallikanzarid]

nnosipov
Я вам даже облегчу задачу: http://en.wikipedia.org/wiki/Direct_sum ... direct_sum (обратитите внимание на слова naturally isomorphic).

-- Вс июн 12, 2011 23:40:34 --

Oleg Zubelevich
Я немного нуб в этом разделе, у нас всегда $\operatorname{im}A^* \cong \operatorname{im}A$, хотя бы в случае конечномерных пространств?

[nnosipov]

Kallikanzarid в сообщении #457196 писал(а):

Я не знаю, чем она отличается от внешней суммы.

С этим я ничего поделать не могу. Может, Вы не понимаете и что такое сумма подпространств? (Похоже, типичный будущий бурбакист.)

[Kallikanzarid]

nnosipov в сообщении #457205 писал(а):

С этим я ничего поделать не могу. Может, Вы не понимаете и что такое сумма подпространств? (Похоже, типичный будущий бурбакист.)

А, так вы тролль Под суммой подпространств вы подразумеваете их линейную оболочку? Попробую вас удивить и скажу, что она очень сильно связана с прямой суммой (самой обычной, не внутренней). Давайте посмотрим: есть пространство $V$, его подпространства $U_1$ и $U_2$, соответствующие вложения $i_1: U_1 \to V$ и $i_2: U_2 \to V$. Что это?! Неужели у нас образовался коконус типа $\bullet \ \bullet$?! Что же это может означать?

[Oleg Zubelevich]

Kallikanzarid в сообщении #457202 писал(а):

у нас всегда $\operatorname{im}A^* \cong \operatorname{im}A$, хотя бы в случае конечномерных пространств?

для конечномерных пространств это так

[Kallikanzarid]

Oleg Zubelevich
ОК :)

[Oleg Zubelevich]

Теперь, что понимать под прямой суммой разных пространств. Что такое $E\oplus W$. Рассмотрим $F=E\times W$. Тогда $E$ и $W$ подпространства в $F$, можно рассматривать их прямую сумму в привычном смысле.

[Kallikanzarid]

Oleg Zubelevich
Прямая сумма конечного числа векторных пространств совпадает с их прямым произведением :) Для бесконечного числа векторных пространств появляются различия. Рассказать подробнее?