2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Канонический базис и матрица оператора
Сообщение29.05.2011, 17:38 


25/05/11
136
Найти канонический базис и матрицу в этом базисе ортогонального оператора заданного в некотором ОНБ матрицей
$$A = \frac17 \qquad
\begin{Vmatrix}
 3 & -2 & 6 \\
 6 & 3 & -2 \\
 -2 & 6 & 3 
\end{Vmatrix}$$

Нашел $det A = 1$, значит матрица имеет вид
$$B = \qquad
\begin{Vmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & cos\phi & -sin\phi \\
 0 & sin\phi & cos\phi  
\end{Vmatrix}
$$

Тогда, т.к $TrA = TrB$ получаем $1 + 2cos\phi = \frac97$

Вот только проблема в том, что нужно доказательство того, что след матрицы - инвариант относительно такого преобразования

 Профиль  
                  
 
 Re: Канонический базис и матрица оператора
Сообщение29.05.2011, 17:40 


19/05/10

3940
Россия
а по старинке с помощью характеристического многочлена никак?
да и неортогональный он

 Профиль  
                  
 
 Re: Канонический базис и матрица оператора
Сообщение29.05.2011, 17:51 


25/05/11
136
т.е находим собственные вектора. В данном случае действительным корнем будет только 1.
И что дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Канонический базис и матрица оператора
Сообщение29.05.2011, 17:57 


19/05/10

3940
Россия
собственный вектор соответствующей этой единице

 Профиль  
                  
 
 Re: Канонический базис и матрица оператора
Сообщение29.05.2011, 18:24 


25/05/11
136
Ок, нашел. Получил $v_1 = (1, 1, 1)$
Что далее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Канонический базис и матрица оператора
Сообщение29.05.2011, 19:03 


19/05/10

3940
Россия
возьмите пару векторов ортогональных нему и получите базис, доказательство в учебнике прочитайте, и фи найдите

 Профиль  
                  
 
 Re: Канонический базис и матрица оператора
Сообщение29.05.2011, 19:21 


25/05/11
136
Базис-то я нашел. А вот как найти матрицу - по прежнему непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Канонический базис и матрица оператора
Сообщение29.05.2011, 19:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Anexroid в сообщении #451655 писал(а):
Нашел $det A = 1$, значит матрица имеет вид
$$B = \qquad \begin{Vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\phi & -sin\phi \\ 0 & sin\phi & cos\phi \end{Vmatrix} $$

Это, кстати, неправда -- вещественное с.ч. вполне могло бы оказаться и минус единичкой. Но раз единичка подходит -- то и слава аллаху.

Anexroid в сообщении #451655 писал(а):
Тогда, т.к $TrA = TrB$ получаем $1 + 2cos\phi = \frac97$

Ну и чего ещё желать?... Остальные собственные числа, в принципе, известны; перебирайте варианты. А ещё тупее -- выпишите (как и было предложено) характеристический многочлен и разделите его на $(\lambda-1)$.

Anexroid в сообщении #451655 писал(а):
нужно доказательство того, что след матрицы - инвариант относительно такого преобразования

Какое ещё такое доказательство, это стандартная теорема.

Anexroid в сообщении #451655 писал(а):
Найти канонический базис

Боюсь, что в подобной ситуации этот базис называют каноническим только ну очень крутые оригиналы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Канонический базис и матрица оператора
Сообщение29.05.2011, 19:35 


25/05/11
136
"Канонический базис" это называют авторы задачника.

Нигде не нашел этой теоремы и её доказательства. А так я находил $\phi$ и препода всё устраивало, кроме того, что нужно было доказать $Tr A = Tr B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Канонический базис и матрица оператора
Сообщение29.05.2011, 19:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Anexroid в сообщении #451712 писал(а):
Нигде не нашел этой теоремы и её доказательства.

При преобразовании подобия сохраняется характеристический многочлен и, значит, его коэффициенты. Два из них тривиальны: это свободный член (т.е. определитель исходной матрицы) и коэффициент при предпоследней степени (он достаточно очевидно равен следу, с точностью до знака). В общем, это стандартная теорема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Канонический базис и матрица оператора
Сообщение29.05.2011, 20:05 


25/05/11
136
Спасибо. Просто то, что след - это коэфициент при члене (n-1)-степени нам препод говорил. А вот про то, что при преобразовании подобия характеристический многочлен сохраняется - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Канонический базис и матрица оператора
Сообщение29.05.2011, 21:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Anexroid в сообщении #451732 писал(а):
А вот про то, что при преобразовании подобия характеристический многочлен сохраняется - нет.

А как он может не сохраняться, когда просто определитель сохраняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Канонический базис и матрица оператора
Сообщение29.05.2011, 21:12 


25/05/11
136
Хм, как то не подумал... ))

 Профиль  
                  
 
 Re: Канонический базис и матрица оператора
Сообщение10.06.2011, 06:39 


25/05/11
136
Теперь осталось только доказать, что коэффциент при степени n-1 равен следу. Этот факт мне известен, а вот как доказать - нем могу понять. Попробовал просто расписать матрицу $A - {\lambda}E$ только что то ничего из этого не получилось

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group