Нашел
![$det A = 1$ $det A = 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/4/4a42c61bf9b02179204762cb87d84eb882.png)
, значит матрица имеет вид
![$$B = \qquad \begin{Vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\phi & -sin\phi \\ 0 & sin\phi & cos\phi \end{Vmatrix} $$ $$B = \qquad \begin{Vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\phi & -sin\phi \\ 0 & sin\phi & cos\phi \end{Vmatrix} $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/f/dffec40e34a343e59c53f6135a9cf75582.png)
Это, кстати, неправда -- вещественное с.ч. вполне могло бы оказаться и минус единичкой. Но раз единичка подходит -- то и слава аллаху.
Тогда, т.к
![$TrA = TrB$ $TrA = TrB$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/1/801ac679dcb0836f7bb38cd372f113e282.png)
получаем
![$1 + 2cos\phi = \frac97$ $1 + 2cos\phi = \frac97$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/5/6a57b1f738be03ba421962f935af6dbe82.png)
Ну и чего ещё желать?... Остальные собственные числа, в принципе, известны; перебирайте варианты. А ещё тупее -- выпишите (как и было предложено) характеристический многочлен и разделите его на
![$(\lambda-1)$ $(\lambda-1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/f/e3f5899191c02e9a1059c397487614dd82.png)
.
нужно доказательство того, что след матрицы - инвариант относительно такого преобразования
Какое ещё такое доказательство, это стандартная теорема.
Найти канонический базис
Боюсь, что в подобной ситуации этот базис называют каноническим только ну очень крутые оригиналы.