Канонический базис и матрица оператора

[Anexroid]

Найти канонический базис и матрицу в этом базисе ортогонального оператора заданного в некотором ОНБ матрицей

$$A = \frac17 \qquad \begin{Vmatrix} 3 & -2 & 6 \\ 6 & 3 & -2 \\ -2 & 6 & 3 \end{Vmatrix}$$

Нашел $det A = 1$, значит матрица имеет вид

$$B = \qquad \begin{Vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\phi & -sin\phi \\ 0 & sin\phi & cos\phi \end{Vmatrix} $$

Тогда, т.к $TrA = TrB$ получаем $1 + 2cos\phi = \frac97$

Вот только проблема в том, что нужно доказательство того, что след матрицы - инвариант относительно такого преобразования

[mihailm]

а по старинке с помощью характеристического многочлена никак?
да и неортогональный он

[Anexroid]

т.е находим собственные вектора. В данном случае действительным корнем будет только 1.
И что дальше?

[mihailm]

собственный вектор соответствующей этой единице

[Anexroid]

Ок, нашел. Получил $v_1 = (1, 1, 1)$
Что далее?

[mihailm]

возьмите пару векторов ортогональных нему и получите базис, доказательство в учебнике прочитайте, и фи найдите

[Anexroid]

Базис-то я нашел. А вот как найти матрицу - по прежнему непонятно.

[ewert]

Anexroid в сообщении #451655 писал(а):

Нашел $det A = 1$, значит матрица имеет вид

$$B = \qquad \begin{Vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\phi & -sin\phi \\ 0 & sin\phi & cos\phi \end{Vmatrix} $$

Это, кстати, неправда -- вещественное с.ч. вполне могло бы оказаться и минус единичкой. Но раз единичка подходит -- то и слава аллаху.

Anexroid в сообщении #451655 писал(а):

Тогда, т.к $TrA = TrB$ получаем $1 + 2cos\phi = \frac97$

Ну и чего ещё желать?... Остальные собственные числа, в принципе, известны; перебирайте варианты. А ещё тупее -- выпишите (как и было предложено) характеристический многочлен и разделите его на $(\lambda-1)$.

Anexroid в сообщении #451655 писал(а):

нужно доказательство того, что след матрицы - инвариант относительно такого преобразования

Какое ещё такое доказательство, это стандартная теорема.

Anexroid в сообщении #451655 писал(а):

Найти канонический базис

Боюсь, что в подобной ситуации этот базис называют каноническим только ну очень крутые оригиналы.

[Anexroid]

"Канонический базис" это называют авторы задачника.

Нигде не нашел этой теоремы и её доказательства. А так я находил $\phi$ и препода всё устраивало, кроме того, что нужно было доказать $Tr A = Tr B$

[ewert]

Anexroid в сообщении #451712 писал(а):

Нигде не нашел этой теоремы и её доказательства.

При преобразовании подобия сохраняется характеристический многочлен и, значит, его коэффициенты. Два из них тривиальны: это свободный член (т.е. определитель исходной матрицы) и коэффициент при предпоследней степени (он достаточно очевидно равен следу, с точностью до знака). В общем, это стандартная теорема.

[Anexroid]

Спасибо. Просто то, что след - это коэфициент при члене (n-1)-степени нам препод говорил. А вот про то, что при преобразовании подобия характеристический многочлен сохраняется - нет.

[ewert]

Anexroid в сообщении #451732 писал(а):

А вот про то, что при преобразовании подобия характеристический многочлен сохраняется - нет.

А как он может не сохраняться, когда просто определитель сохраняется.

[Anexroid]

Хм, как то не подумал... ))

[Anexroid]

Теперь осталось только доказать, что коэффциент при степени n-1 равен следу. Этот факт мне известен, а вот как доказать - нем могу понять. Попробовал просто расписать матрицу $A - {\lambda}E$ только что то ничего из этого не получилось