Еще одно диофантово уравнение

[juna]

Найдите бесконечно много решений в натуральных числах диофантова уравнения $y(y-x)=x^2+1$

[Руст]

Это очень просто.
$z+t\sqrt 5 =(9+4\sqrt 5 )^n, \ x=2t, \ y=z+t$.

[RIP]

Можно найти даже все решения, записав (сильно подозреваю, что Руст так и сделал)

$$(2y-x)^2-5x^2=4$$

[juna]

Руст привел к уравнению Пелля $z^2=5t^2+1$.
Мне нравится мое решение:
$\forall k \left ( \begin {array} {c} y \\ x \end {array}\right)= \left ( \begin {array} {cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end {array}\right)^{2k+1} \left ( \begin {array} {c} 1 \\ 1 \end {array}\right )$

[RIP]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Руст привел к уравнению Пелля $z^2=5t^2+1$.
Мне нравится мое решение:
$\forall k \left ( \begin {array} {c} y \\ x \end {array}\right)= \left ( \begin {array} {cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end {array}\right)^{2k+1} \left ( \begin {array} {c} 1 \\ 1 \end {array}\right )$

Этой формулой задаются все решения.

[juna]

$\frac y x\approx \frac {1+\sqrt 5}{2}$

[RIP]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

:o $\frac y x\approx \frac {1+\sqrt 5}{2}$

$$\frac{2y-x\pm x\sqrt5}2=\left(\frac{1\pm\sqrt5}2\right)^{2k+1}$$

[juna]

Вообще, решения этого уравнения - это все подходящие дроби с нечетным номером при разложении $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ в непрерывную дробь. Именно из этой идеи я и придумал это уравнение. Но фокус в том, что подобные матричные решения справедливы не только для квадратов.

[Руст]

Как бы не решили, всё придём к тому, что $x=F_{2k-1},y=F_{2k+1}, \ k\in N$, где $F_n$ -числа Фибонвчи.

[juna]

Я имел ввиду не данное уравнение, а заметку Michael D. Hirschhorn
Берем матрицу $M$ с определителем -1, $x_n=M^nx_0$, тогда отношения компонент сходятся, т.е. видимо являются подходящими дробями какой-то иррациональности, и тогда их можно связать с некоторым диофантовым уравнением.

[maxal]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Берем матрицу $M$ с определителем -1, $x_n=M^nx_0$, тогда отношения компонент сходятся, т.е. видимо являются подходящими дробями какой-то иррациональности, и тогда их можно связать с некоторым диофантовым уравнением.

В общем случае их отношение стремится к большему по модулю собственному значению матрицы $M$ (хотя это может нарушиться для некоторых особых значений $x_0$). В случае, когда существует несколько собственных значений с максимальным модулем (для матрицы $2\times 2$ они равны 1 и -1), предела отношения может и не существовать.

[juna]

В общем случае их отношение не стремится к большему по модулю собственному значению матрицы $M$, а может рационально выражаться через это значение. Нарушения зависят не от вида $x_0$, а от вида $M$, например, характеристический многочлен имеет только целые решения и т.д.

[maxal]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

В общем случае их отношение не стремится к большему по модулю собственному значению матрицы $M$, а может рационально выражаться через это значение. Нарушения зависят не от вида $x_0$, а от вида $M$, например, характеристический многочлен имеет только целые решения и т.д.

В общем случае для матрицы $M$ размером $m\times m$ имеем $j$-я компонента вектора $x_n$ равна $x_{nj} = \sum_{i=1}^m c_i \lambda_i^{n+j},$ где $\lambda_i$ - все различные собственные значения матрицы $M,$ а коэффициенты $c_i$ определяются исключительно вектором $x_0.$ Если максимальное по модулю собственное значение единственно, для определенности скажем $\lambda_1,$ и коэффициент при нем $c_1\ne 0$ (это зависит опять же только от $x_0$), то отношение любых двух соседних компонент вектора $x_n$ стремится к $\lambda_1$ с ростом $n.$

[juna]

Ваши рассуждения были понятны, но:

[Руст]

maxal писал(а):

В общем случае для матрицы $M$ размером $m\times m$ имеем $j$-я компонента вектора $x_n$ равна $x_{nj} = \sum_{i=1}^m c_i \lambda_i^{n+j},$ где $\lambda_i$ - все различные собственные значения матрицы $M,$ а коэффициенты $c_i$ определяются исключительно вектором $x_0.$ Если максимальное по модулю собственное значение единственно, для определенности скажем $\lambda_1,$ и коэффициент при нем $c_1\ne 0$ (это зависит опять же только от $x_0$), то отношение любых двух соседних компонент вектора $x_n$ стремится к $\lambda_1$ с ростом $n.$

Это чушь.
Всё просто, переходим к базису, где M приводится к Жордановой форме J. Разлагаем начальный вектор по этому базису $x_0=c_1e_1+...+c_ne_n, \ e_i -$ векторы столбцы. Если M приводится к диагональному виду, то все просто $x_n=\sum_i c_i\lambda_i^ne_i$, что приводит к определённым отношениям компонент вектора в пределе если нет одинаковых по модулю характеристических чисел.
Если есть одинаковые по модулю характеристические числа предел может не существовать, разные подпоследовательности могут иметь разные пределы, даже в случае, когда эти собственные значения не самые большие по модулю.