2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение04.06.2011, 22:33 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Xenia1996 в сообщении #454041 писал(а):
При каких $k\in\mathbb N$ уравнение $\frac{(k+1)^n-1}{k^n-1}=m$ не имеет решений в натуральных числах?

Если поступить аналогично: $k^n-1$ всегда делится на $k-1$. Так как $0\equiv (k+1)^n-1 \equiv 2^n-1\pmod{k-1}$, то $k$ обязано быть чётно, а $n$ кратно мультипликативному порядку (показателю) $2$ по модулю $k-1$.
Если этот порядок чётен, то $k^n-1$ делится на $k+1$, и решений нет. Возможными исключениями остаются только те $k$, для которых этот порядок нечетен. Соответствующие им $k-1$ образуют последовательность A036259. Дальше уже надо думать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение04.06.2011, 23:41 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
age в сообщении #454094 писал(а):
nnosipov в сообщении #454088 писал(а):
А вот Вы и докажите!
А вы в соседней теме на мой вопрос ответьте.

Ваш вопрос, мягко говоря, ничем не мотивирован. Боюсь, Вы просто ничего не поняли из того, что было написано в той теме (ни самой постановки задачи, ни предложенного мною решения). А могли бы и попробовать разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 00:17 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213

(Оффтоп)

nnosipov
Понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 09:32 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
nnosipov в сообщении #454051 писал(а):
Ксения, а при $k=8$ можете доказать, что решений нет?
Вопрос уже становится интересным при $k=12$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 10:27 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
age в сообщении #454207 писал(а):
Вопрос уже становится интересным при $k=12$

Отнюдь. Я же показал выше, что вопрос интересен только для тех $k$, для которых $k-1$ является элементом A036259.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 11:19 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
maxal
Да, да, да. Просмотрел. Сам себе усложнил жизнь. :? Хотел сказать, что вопрос для начала надо решить для простых $k-1$

-- Вс июн 05, 2011 12:28:49 --

Кстати, вроде как $k=24$ - кандидат на решение уравнения, там все мультипликативные порядки нечётны и делятся на $11=ord_223$.

Отсюда возможна ситуация, когда $\dfrac{25^{11\cdot987463428403}-1}{24^{11}-1}$ - целое.

Поэтому через мультипликативные порядки задачу не решить. :? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Белые и чёрные подмножества
Сообщение05.06.2011, 12:08 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213

(Оффтоп)

Xenia1996
А вы в соседней теме написали:
Xenia1996 в сообщении #454065 писал(а):
Для нечётных n ответ точно есть :lol1:
Он точно есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Белые и чёрные подмножества
Сообщение05.06.2011, 12:18 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
age в сообщении #454261 писал(а):

(Оффтоп)

Xenia1996
А вы в соседней теме написали:
Xenia1996 в сообщении #454065 писал(а):
Для нечётных n ответ точно есть :lol1:
Он точно есть?

(Оффтоп)

Я имела в виду не $ n $, а $ k $. Невнимательной стала. Возможно, по причине написанного в предвоследнем посте вот в этой теме

 Профиль  
                  
 
 Re: Белые и чёрные подмножества
Сообщение05.06.2011, 12:24 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213

(Оффтоп)

:lol: Да помню, участвовал. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Белые и чёрные подмножества
Сообщение05.06.2011, 12:37 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
я пока буду Вашими степенями заниматься

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 12:45 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Xenia1996 в сообщении #454065 писал(а):
nnosipov в сообщении #454064 писал(а):
Да, всё верно. Но появление этого $73$ настораживает, не правда ли? Вероятно, простого ответа на Ваш вопрос (при каких $k \in \mathbb{N}$ ...) нет.

Для нечётных n ответ точно есть :lol1:

Перепутала $ k $ с $ n $.
Разумеется, речь шла о нечётном $ k $ :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 15:26 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
age в сообщении #454234 писал(а):
Отсюда возможна ситуация, когда $\dfrac{25^{11\cdot987463428403}-1}{24^{11}-1}$ - целое.

age, это число не целое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 15:48 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
nnosipov в сообщении #454337 писал(а):
age, это число не целое.
целое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 15:55 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
age в сообщении #454345 писал(а):
nnosipov в сообщении #454337 писал(а):
age, это число не целое.
целое.

А где Вы считали? Может, у Вас опечатка и Вы имели в виду что-то другое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 16:15 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
$987463428403=134367047\cdot7349$
а
$(25^{11}-1)\div23\cdot67$
Вот такое удивительное совпадение.

-- Вс июн 05, 2011 17:16:57 --

В том смысле что $24^{11}-1=23\cdot67\cdot134367047\cdot7349$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 66 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: nnosipov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group