Несложное уравнение в натуральных числах

[maxal]

Xenia1996 в сообщении #454041 писал(а):

При каких $k\in\mathbb N$ уравнение $\frac{(k+1)^n-1}{k^n-1}=m$ не имеет решений в натуральных числах?

Если поступить аналогично: $k^n-1$ всегда делится на $k-1$. Так как $0\equiv (k+1)^n-1 \equiv 2^n-1\pmod{k-1}$, то $k$ обязано быть чётно, а $n$ кратно мультипликативному порядку (показателю) $2$ по модулю $k-1$.
Если этот порядок чётен, то $k^n-1$ делится на $k+1$, и решений нет. Возможными исключениями остаются только те $k$, для которых этот порядок нечетен. Соответствующие им $k-1$ образуют последовательность A036259. Дальше уже надо думать...

[nnosipov]

age в сообщении #454094 писал(а):

nnosipov в сообщении #454088 писал(а):

А вот Вы и докажите!

А вы в соседней теме на мой вопрос ответьте.

Ваш вопрос, мягко говоря, ничем не мотивирован. Боюсь, Вы просто ничего не поняли из того, что было написано в той теме (ни самой постановки задачи, ни предложенного мною решения). А могли бы и попробовать разобраться.

[age]

(Оффтоп)

nnosipov
Понятно.

[age]

nnosipov в сообщении #454051 писал(а):

Ксения, а при $k=8$ можете доказать, что решений нет?

Вопрос уже становится интересным при $k=12$

[maxal]

age в сообщении #454207 писал(а):

Вопрос уже становится интересным при $k=12$

Отнюдь. Я же показал выше, что вопрос интересен только для тех $k$, для которых $k-1$ является элементом A036259.

[age]

maxal
Да, да, да. Просмотрел. Сам себе усложнил жизнь. Хотел сказать, что вопрос для начала надо решить для простых $k-1$

-- Вс июн 05, 2011 12:28:49 --

Кстати, вроде как $k=24$ - кандидат на решение уравнения, там все мультипликативные порядки нечётны и делятся на $11=ord_223$.

Отсюда возможна ситуация, когда $\dfrac{25^{11\cdot987463428403}-1}{24^{11}-1}$ - целое.

Поэтому через мультипликативные порядки задачу не решить.

[age]

(Оффтоп)

Xenia1996
А вы в соседней теме написали:

Xenia1996 в сообщении #454065 писал(а):

Для нечётных n ответ точно есть

Он точно есть?

[Xenia1996]

age в сообщении #454261 писал(а):

(Оффтоп)

Xenia1996
А вы в соседней теме написали:

Xenia1996 в сообщении #454065 писал(а):

Для нечётных n ответ точно есть

Он точно есть?

(Оффтоп)

Я имела в виду не $ n $, а $ k $. Невнимательной стала. Возможно, по причине написанного в предвоследнем посте вот в этой теме

[age]

(Оффтоп)

Да помню, участвовал.

[age]

я пока буду Вашими степенями заниматься

[Xenia1996]

Xenia1996 в сообщении #454065 писал(а):

nnosipov в сообщении #454064 писал(а):

Да, всё верно. Но появление этого $73$ настораживает, не правда ли? Вероятно, простого ответа на Ваш вопрос (при каких $k \in \mathbb{N}$ ...) нет.

Для нечётных n ответ точно есть

Перепутала $ k $ с $ n $.
Разумеется, речь шла о нечётном $ k $

[nnosipov]

age в сообщении #454234 писал(а):

Отсюда возможна ситуация, когда $\dfrac{25^{11\cdot987463428403}-1}{24^{11}-1}$ - целое.

age, это число не целое.

[age]

nnosipov в сообщении #454337 писал(а):

age, это число не целое.

целое.

[nnosipov]

age в сообщении #454345 писал(а):

nnosipov в сообщении #454337 писал(а):

age, это число не целое.

целое.

А где Вы считали? Может, у Вас опечатка и Вы имели в виду что-то другое?

[age]

$987463428403=134367047\cdot7349$
а
$(25^{11}-1)\div23\cdot67$
Вот такое удивительное совпадение.

-- Вс июн 05, 2011 17:16:57 --

В том смысле что $24^{11}-1=23\cdot67\cdot134367047\cdot7349$