2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение04.06.2011, 22:33 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Xenia1996 в сообщении #454041 писал(а):
При каких $k\in\mathbb N$ уравнение $\frac{(k+1)^n-1}{k^n-1}=m$ не имеет решений в натуральных числах?

Если поступить аналогично: $k^n-1$ всегда делится на $k-1$. Так как $0\equiv (k+1)^n-1 \equiv 2^n-1\pmod{k-1}$, то $k$ обязано быть чётно, а $n$ кратно мультипликативному порядку (показателю) $2$ по модулю $k-1$.
Если этот порядок чётен, то $k^n-1$ делится на $k+1$, и решений нет. Возможными исключениями остаются только те $k$, для которых этот порядок нечетен. Соответствующие им $k-1$ образуют последовательность A036259. Дальше уже надо думать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение04.06.2011, 23:41 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
age в сообщении #454094 писал(а):
nnosipov в сообщении #454088 писал(а):
А вот Вы и докажите!
А вы в соседней теме на мой вопрос ответьте.

Ваш вопрос, мягко говоря, ничем не мотивирован. Боюсь, Вы просто ничего не поняли из того, что было написано в той теме (ни самой постановки задачи, ни предложенного мною решения). А могли бы и попробовать разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 00:17 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213

(Оффтоп)

nnosipov
Понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 09:32 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
nnosipov в сообщении #454051 писал(а):
Ксения, а при $k=8$ можете доказать, что решений нет?
Вопрос уже становится интересным при $k=12$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 10:27 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
age в сообщении #454207 писал(а):
Вопрос уже становится интересным при $k=12$

Отнюдь. Я же показал выше, что вопрос интересен только для тех $k$, для которых $k-1$ является элементом A036259.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 11:19 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
maxal
Да, да, да. Просмотрел. Сам себе усложнил жизнь. :? Хотел сказать, что вопрос для начала надо решить для простых $k-1$

-- Вс июн 05, 2011 12:28:49 --

Кстати, вроде как $k=24$ - кандидат на решение уравнения, там все мультипликативные порядки нечётны и делятся на $11=ord_223$.

Отсюда возможна ситуация, когда $\dfrac{25^{11\cdot987463428403}-1}{24^{11}-1}$ - целое.

Поэтому через мультипликативные порядки задачу не решить. :? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Белые и чёрные подмножества
Сообщение05.06.2011, 12:08 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213

(Оффтоп)

Xenia1996
А вы в соседней теме написали:
Xenia1996 в сообщении #454065 писал(а):
Для нечётных n ответ точно есть :lol1:
Он точно есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Белые и чёрные подмножества
Сообщение05.06.2011, 12:18 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
age в сообщении #454261 писал(а):

(Оффтоп)

Xenia1996
А вы в соседней теме написали:
Xenia1996 в сообщении #454065 писал(а):
Для нечётных n ответ точно есть :lol1:
Он точно есть?

(Оффтоп)

Я имела в виду не $ n $, а $ k $. Невнимательной стала. Возможно, по причине написанного в предвоследнем посте вот в этой теме

 Профиль  
                  
 
 Re: Белые и чёрные подмножества
Сообщение05.06.2011, 12:24 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213

(Оффтоп)

:lol: Да помню, участвовал. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Белые и чёрные подмножества
Сообщение05.06.2011, 12:37 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
я пока буду Вашими степенями заниматься

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 12:45 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Xenia1996 в сообщении #454065 писал(а):
nnosipov в сообщении #454064 писал(а):
Да, всё верно. Но появление этого $73$ настораживает, не правда ли? Вероятно, простого ответа на Ваш вопрос (при каких $k \in \mathbb{N}$ ...) нет.

Для нечётных n ответ точно есть :lol1:

Перепутала $ k $ с $ n $.
Разумеется, речь шла о нечётном $ k $ :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 15:26 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
age в сообщении #454234 писал(а):
Отсюда возможна ситуация, когда $\dfrac{25^{11\cdot987463428403}-1}{24^{11}-1}$ - целое.

age, это число не целое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 15:48 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
nnosipov в сообщении #454337 писал(а):
age, это число не целое.
целое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 15:55 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
age в сообщении #454345 писал(а):
nnosipov в сообщении #454337 писал(а):
age, это число не целое.
целое.

А где Вы считали? Может, у Вас опечатка и Вы имели в виду что-то другое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложное уравнение в натуральных числах
Сообщение05.06.2011, 16:15 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
$987463428403=134367047\cdot7349$
а
$(25^{11}-1)\div23\cdot67$
Вот такое удивительное совпадение.

-- Вс июн 05, 2011 17:16:57 --

В том смысле что $24^{11}-1=23\cdot67\cdot134367047\cdot7349$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 66 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group