Несложное уравнение в натуральных числах

[Xenia1996]

$\frac{7^n-1}{6^n-1}=m$
Решить в натуральных числах.

[maxal]

$6^n-1$ всегда делится на 5, а чтобы $7^n - 1$ делилось на 5 необходимо, чтобы $n$ было кратно 4.
Но при четных $n$ число $6^n-1$ делится на 7, в то время как $7^n-1$ делиться на 7 никак не может.
Решений нет.

[Xenia1996]

maxal в сообщении #454040 писал(а):

$6^n-1$ всегда делится на 5, а чтобы $7^n - 1$ делилось на 5 необходимо, чтобы $n$ было кратно 4.
Но при четных $n$ число $6^n-1$ делится на 7, в то время как $7^n-1$ делиться на 7 никак не может.
Решений нет.

Решили быстрее, чем я предполагала. Окей, обобщаем:
При каких $k\in\mathbb N$ уравнение $\frac{(k+1)^n-1}{k^n-1}=m$ не имеет решений в натуральных числах?

-- Сб июн 04, 2011 18:54:27 --



Ой, стоп! Забыла $k>1$

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #454041 писал(а):

Окей, обобщаем:
При каких $k\in\mathbb N$ уравнение $\frac{(k+1)^n-1}{k^n-1}=m$ не имеет решений в натуральных числах?

Ксения, а при $k=8$ можете доказать, что решений нет?

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #454051 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #454041 писал(а):

Окей, обобщаем:
При каких $k\in\mathbb N$ уравнение $\frac{(k+1)^n-1}{k^n-1}=m$ не имеет решений в натуральных числах?

Ксения, а при $k=8$ можете доказать, что решений нет?

Низ делится на 73, а верх - не хочет, если n - нечётно. А если чётно, то $9|8^n-1$, но $9^n-1$ не делится на 9.

Так?

Надеюсь, понятно, почему n должно быть кратно 3?

[nnosipov]

Да, всё верно. Но появление этого $73$ настораживает, не правда ли? Вероятно, простого ответа на Ваш вопрос (при каких $k \in \mathbb{N}$ ...) нет.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #454064 писал(а):

Да, всё верно. Но появление этого $73$ настораживает, не правда ли? Вероятно, простого ответа на Ваш вопрос (при каких $k \in \mathbb{N}$ ...) нет.

Для нечётных n ответ точно есть
Может, перенесём в "Дискуссионные темы" и обсудим по-взрослому?
А что думает уважаемый профессор maxal?

[age]

$9^{72}-1\div73$

[Xenia1996]

age в сообщении #454067 писал(а):

$9^{72}-1\div73$

Но 72 - чётно!

[age]

Xenia1996 в сообщении #454065 писал(а):

Для нечётных n ответ точно есть

Вот для чётных точно есть: $\dfrac{k^{2n}-1}{(k-1)^{2n}-1}$. Низ делится на $k$, верх нет.

[nnosipov]

Вот ещё один, но уже не совсем детский вопрос: при каких натуральных $n$ дробь $(3^n-1)/(2^n-1)$ будет целым числом? Здесь есть элементарное решение.

[age]

Xenia1996 в сообщении #454061 писал(а):

Низ делится на 73, а верх - не хочет, если n - нечётно.

Оччень интересное утверждение что $9^{2k+1}-1$ не делится на $73$. Интересно, кто-то доказать может?

[nnosipov]

age в сообщении #454085 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #454061 писал(а):

Низ делится на 73, а верх - не хочет, если n - нечётно.

Оччень интересное утверждение что $9^{2k+1}-1$ не делится на $73$. Интересно, кто-то доказать может?

А вот Вы и докажите!

[Руст]

age в сообщении #454085 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #454061 писал(а):

Низ делится на 73, а верх - не хочет, если n - нечётно.

Оччень интересное утверждение что $9^{2k+1}-1$ не делится на $73$. Интересно, кто-то доказать может?

Порядок 3 по модулю 73 равен 12, соответственно порядок 9 равен 6. Так как 2k+1 не делится на 6, то $73\not |9^{2k+1}-1$.

[age]

Руст
Понял, спасибо, интересно.

nnosipov в сообщении #454088 писал(а):

А вот Вы и докажите!

А вы в соседней теме на мой вопрос ответьте.