К вопросу о размерностях...

[lek]

В суперсимметричных теориях Янга-Миллса в $D$ измерениях число физических фермионных мод есть некоторая степень двойки (поскольку таковой является размерность спинорного представления ортогональной группы). Калибровочное же поле описывает $D-2$ физических мод в соответствии с числом различных поперечных поляризаций. Кроме того, в суперсимметричной теории число бозонных и фермионных физических мод должно быть одинаково. Следовательно, условие суперсимметричности минимального (т.е. не содержащего никаких дополнительных полей) лагранжиана означает, что $D-2$ должно быть степенью двойки. Легко видеть, что это условие выполняется при $D=3,4,6,10$, а при $D>10$ число спинорных компонент намного превосходит число векторных. Таким образом, рассматриваемые теории допускают сушествование $1, 2, 4$ или $8$ бозонных (фермионных) физических мод.

С другой стороны именно такие размерности имеют известные алгебры с делением $\mathbb R$, $\mathbb C$, $\mathbb H$ и $\mathbb O$. Боле того, известно, что конечномерные алгебры с делением над $\mathbb R$ существуют лишь в размерностях $1,2,4,8$.

В связи с этим возникает естественный вопрос: является ли случайным такое совпадение?

[Wild Bill]

Ещё $\mathbb R$, $\mathbb C$, $\mathbb H$ и $\mathbb O$ единственные поля, которые построены удвоением от поля $\mathbb R$.

Как это может быть случайным, если мы для описания физики используем математику? А в математике очень много связей, один и тот же объект описывается различными способами.

[вздымщик Цыпа]

$\mathbb H$ — не поле, а $\mathbb O$ даже и не тело. Так что именно так:

lek в сообщении #451814 писал(а):

конечномерные алгебры с делением над $\mathbb R$

(пардон, не удержался )

[Bulinator]

lek в сообщении #451814 писал(а):

В суперсимметричных теориях Янга-Миллса в $D$ измерениях число физических фермионных мод есть некоторая степень двойки (поскольку таковой является размерность спинорного представления ортогональной группы). Калибровочное же поле описывает $D-2$ физических мод в соответствии с числом различных поперечных поляризаций. Кроме того, в суперсимметричной теории число бозонных и фермионных физических мод должно быть одинаково. Следовательно, условие суперсимметричности минимального (т.е. не содержащего никаких дополнительных полей) лагранжиана означает, что $D-2$ должно быть степенью двойки. Легко видеть, что это условие выполняется при $D=3,4,6,10$, а при $D>10$ число спинорных компонент намного превосходит число векторных. Таким образом, рассматриваемые теории допускают сушествование $1, 2, 4$ или $8$ бозонных (фермионных) физических мод.

Вы примерно описали доказательство теоремы Гурвица(Она тесно связана с существованием нормированных алгебр с делением. См., например J. Baez, The Octonions, стр.5). Полное доказательство смотрите, например, в книге Херстейн И. — Некоммутативные кольца.

[Wild Bill]

Да, я что-то сглупил... тоже пардон за поспешность.

[lek]

Wild Bill в сообщении #451911 писал(а):

Вы примерно описали доказательство теоремы Гурвица

С доказательством теоремы Гурвица (теоремы Фробениуса или их аналогов) текст первого абзаца из сообщения топик-стартера никак не связан. Это физика чистой воды - материал из теории суперструн (известно, что суперсимметричная теория Янга-Миллса является низкоэнергетической апроксимацией для открытой суперструны). И интересно как раз то, что такие разные объекты (суперструны и конечномерные композиционные алгебры) имеют неожиданное пересечение...

[lek]

Подойду к сформулированному в первом посту вопросу несколько иначе. Хорошо известно, что калибровочными группами симметрий в теориях электромагнитных, слабых и сильных взаимодействий являются группы $U(1)$, $SU(2)$ и $SU(3)$, соответственно.

С другой стороны, перечисленные группы тесно связаны с алгебрами $\mathbb C$, $\mathbb H$ и $\mathbb O$. Действительно, в силу условия композиционности $n(xy)=n(x)n(y)$ (здесь $n(x)=(x,x)$ - евклидова норма элемента $x$), которое справедливо в этих алгебрах, множество всех элементов нормы 1 замкнуто относительно умножения. Для первых двух алгебр такие множества образуют группы, изоморфные $U(1)$ и $SU(2)$ соответственно. Для алгебры $\mathbb O$ ситуация несколько сложнее, но и там унитарная группа (а именно группа $SU(3)$) возникает естественным образом.

В связи с этим вновь возникает вопрос: является ли случайным такое совпадение?

[мат-ламер]

lek. Я не физик, так что извините, если что ляпну не так. Заметим, что наше пространство (Минковского) по сути есть пространство кватернионов, где пространственные измерения соответствуют мнимым единицам кватернионов - а время действительной единице (тут ещё множитель $c$ возникает). В теории струн вводят дополнительные измерения. Рискну предположить, что они отвечают уже не кватернионам, а октавам Кэли. Октавы имеют семь мнимых единиц. Значит должно появиться семь дополнительных пространственных измерений.

[lek]

мат-ламер в сообщении #452075 писал(а):

наше пространство (Минковского) по сути есть пространство кватернионов, где пространственные измерения соответствуют мнимым единицам кватернионов - а время действительной единице

По сути вы правы... Описание 4-мерного пространства-времени в терминах кватернионов (точнее, в терминах так называемых обобщенных кватернионов - алгебры кватернионов над полем комплексных чисел) вполне допустимо. Можно и преобразования Лоренца записать используя эту терминологию. Правда каких-либо новых физических сущностей на этом пути мы вряд ли получим.

мат-ламер в сообщении #452075 писал(а):

В теории струн вводят дополнительные измерения. Рискну предположить, что они отвечают уже не кватернионам, а октавам Кэли.

А вот здесь вы попали в точку (почти...). Октавы Кэли естественно возникают в одиннадцатимерной супергравитации (которая в свою очередь является низкоэнергетическим пределом так называемой M-теории, которая призвана объединить различные суперструнные теории) при рассмотрении компактификации типа Калуцы-Клейна. А именно, когда 11-мерное многообразие представляется в виде прямого произведения 4-мерного пространства-времени и 7-мерной сферы. В этом случае с точками этой сферы можно отождествить элементы нормы 1 алгебры октонионов.

[type2b]

Обзор про SUSY and division algebras: http://arxiv.org/abs/0909.0551
Вообще, это довольно маргинальная деятельность, глубоких результатов тут пока, вроде, не видно.
Еще можете поинтересоваться недавними докладами Атьи.

[lek]

type2b, благодарю за информацию.

type2b в сообщении #452128 писал(а):

Обзор про SUSY and division algebras: http://arxiv.org/abs/0909.0551

С этой статьей я знаком. John Baez хороший популяризатор, однако каких-либо новых идей в этой и других его работах я не нашел.

type2b в сообщении #452128 писал(а):

Еще можете поинтересоваться недавними докладами Атьи.

А вот это было бы интересно посмотреть. К сожалению, по ссылке "http://www.slac.stanford.edu/spires/find/hep/www?rawcmd=FIND+A+ATIYAH" я нашел только две его работы за последние 5 лет. Но они не освещают затронутые здесь вопросы. Был бы вам признателен за более подробную информацию.

type2b в сообщении #452128 писал(а):

Вообще, это довольно маргинальная деятельность, глубоких результатов тут пока, вроде, не видно.

Полностью с вами согласен. Однако сейчас я могу себе позволить заниматься исключительно теми проблемами, которые интересны лично мне

[lek]

Последний пример... В физике частиц особое место занимают компактные группы Ли. Такие и только такие группы могут описывать внутренние (калибровочные) симметрии. Классификация компактных групп Ли хорошо известна. Всякая такая группа разлагается в прямое произведение своего центра (абелевой группы) и простых компактных (неабелевых) групп Ли. Причем, три бесконечные последовательности групп $SO(n)$, $SU(n)$, $Sp(n)$ и пять исключительных групп $G_2$, $F_4$, $E_6$, $E_7$, $E_8$ составляют все неизоморфные компактные простые группы Ли.

С другой стороны... Пусть $A$ - композиционная ассоциативная алгебра с делением, т.е. одна из алгебр вида $\mathbb R$, $\mathbb C$ или $\mathbb H$. Определим на $n$-мерном векторном пространстве $A^{n}=A\times\dots\times A$ скалярное произведение $\boldsymbol x\cdot\boldsymbol y=\bar x_1y_1+\dots+\bar x_{n}y_{n}. $ Обозначим группу изометрий пространства $A^{n}$ на себя символом $G(n)$ и отождествим каждую изометрию с матрицей, столбцы которой являются образами векторов стандартного базиса. Тогда легко показать, что матрица $\boldsymbol a$ тогда и только тогда принадлежит группе $G(n)$, когда $\boldsymbol{\bar a}^{t}\boldsymbol a=\boldsymbol e, $ где $\boldsymbol e$ - единичная матрица, а $\boldsymbol{\bar a}^{t}$ - матрица, получающаяся из $\boldsymbol a$ транспонированием и заменой всех элементов на сопряженные (под сопряжением понимается инволюция алгебры $A$). В том случае, когда $A=\mathbb R$, $\mathbb C$ или $\mathbb H$, группа $G(n)=O(n)$, $U(n)$ или $Sp(n)$ соответственно, т.е. является ортогональной, унитарной или симплектической группой Ли. Подобным, но более сложным способом, с алгеброй октонионов $\mathbb O$ можно связать компактные группы Ли $G_2$, $F_4$, $E_6$, $E_7$, $E_8$.

Таким образом, алгебры $\mathbb R$, $\mathbb C$, $\mathbb H$, $\mathbb O$ присутствуют и здесь...

[Munin]

lek в сообщении #452310 писал(а):

Такие и только такие группы могут описывать внутренние (калибровочные) симметрии.

А как же гравитация? Кстати, вы её и раньше "потеряли"...

[type2b]

lek, я дал ссылку на обзор потому, что там содержится ответ на вопрос, который Вы задали в начале темы (как минимальная суперсимметрия связана с division algebras). Если Вы читали, то зачем спрашиваете?

Лекция Атьи, например, вот:
http://video.ias.edu/members/atiyah
Также он в ноябре читал лекции в SNS IAS и в Simons Center for Geom.&Phys, они могут быть более релевантны. Может быть, Вы найдете еще какие-то недавние его выступления или слайды.
Но я не отвечаю за Ваше потраченное время и трафик. По-моему, это патологическая деятельность.

[lek]

Munin в сообщении #452322 писал(а):

А как же гравитация? Кстати, вы её и раньше "потеряли"...

Не потерял... игнорировал При рассмотрении внешних симметрий (т.е. симметрий пространства-времени) мы сталкиваемся с локальными преобразованиями Лоренца, группа которых некомпактна. И связать ее с рассматриваемыми алгебрами естественным образом не удается. Хотя... В теориях типа Калуцы-Клейна внутренние симметрии возникают при компактификации многомерного пространства-времени, которое изначально обладает лишь внешними симметриями. Поэтому, если говорить о многомерных теориях гравитации (например о 11-мерной супергравитации), то связь с обсуждаемыми алгебрами (например, с алгеброй октав) найти можно.

-- Вт май 31, 2011 21:18:58 --

type2b, благодарю за ссылку.