Помогите доказать 2 утверждения по алгебре

[lek]

Понял...

[ewert]

nnosipov в сообщении #451440 писал(а):

класс положительно определённых симметричных матриц $A$ совпадает с классом матриц Грама $G$ (

класс неотрицательных матриц совпадает

[nnosipov]

ewert в сообщении #451443 писал(а):

nnosipov в сообщении #451440 писал(а):

класс положительно определённых симметричных матриц $A$ совпадает с классом матриц Грама $G$ (

класс неотрицательных матриц совпадает

Я имел в виду матрицы Грама базисов. А если произвольных систем --- то да, класс неотрицательных.

[lek]

nnosipov в сообщении #451445 писал(а):

А если произвольных систем --- то да, класс неотрицательных.

Вы имеете ввиду произвольную систему $n$ векторов в $n$-мерном пространстве (опуская требование линейной независимости)? Очевидно так... Но тогда, ограничиваясь подклассом невырожденных матриц, мы получаем соответствующее утверждение для матриц Грама базисов. Или все же нет?

[nnosipov]

lek в сообщении #451451 писал(а):

nnosipov в сообщении #451445 писал(а):

А если произвольных систем --- то да, класс неотрицательных.

Вы имеете ввиду произвольную систему $n$ векторов в $n$-мерном пространстве (опуская требование линейной независимости)? Очевидно так... Но тогда, ограничиваясь подклассом невырожденных матриц, мы получаем соответствующее утверждение для матриц Грама базисов.

Да.

[lek]

nnosipov в сообщении #451473 писал(а):

Да.

И значит... проблема отмеченная вами выше снимается?

[ewert]

lek в сообщении #451451 писал(а):

Но тогда, ограничиваясь подклассом невырожденных матриц, мы получаем соответствующее утверждение для матриц Грама базисов. Или все же нет?

Независимо от размерности (вообще от природы) векторов и независимо от их количества: матрица Грама невырожденна тогда и только тогда, когда эти векторы линейно независимы.

[nnosipov]

lek в сообщении #451476 писал(а):

nnosipov в сообщении #451473 писал(а):

Да.

И значит... проблема отмеченная вами выше снимается?

С чего вдруг снимается? Ещё раз: дана положительно определённая матрица $A=(a_{ij})$; нужно показать, что найдётся базис $a_1,\ldots,a_n$ евклидова пространства $\mathbb{R}^n$ (со стандартным скалярным произведением), такой, что $(a_i,a_j)=a_{ij}$. Это совсем не очевидно.

[lek]

Если класс невырожденных симметрических матриц совпадает с классом матриц Грама базисов (вы с этим согласились), то почему тогда положительно определенная симметричная матрица не является матрицой Грама?

[ewert]

lek в сообщении #451485 писал(а):

почему тогда положительно определенная симметричная матрица не является матрицой Грама?

А кто сказал, что не является?

lek в сообщении #451485 писал(а):

класс невырожденных симметрических матриц совпадает с классом матриц Грама базисов

невырожденных эрмитовых положительных матриц

[nnosipov]

lek в сообщении #451485 писал(а):

Если класс невырожденных симметрических матриц совпадает с классом матриц Грама базисов (вы с этим согласились), то почему тогда положительно определенная симметричная матрица не является матрицой Грама?

Да мы просто не поняли друг друга. Проблема, конечно, снимается, это же всё-таки учебная задача. Только доказательство совпадения этих классов --- не совсем очевидная вещь (ровно на это я и обращал внимание). Здесь надо либо диагонализировать матрицу $A$ некоторым ортогональным преобразованием (возможность этого --- содержательная теорема, но она, к счастью для ТС, доказывается практически в любом курсе линейной алгебры), либо, как отметил ewert, привлекать разложение Холецкого матрицы $A$ (а это уже реже встречается в курсах линейной алгебры), либо придумывать что-то третье. Мне же поначалу эта проблема показалась совсем очевидной, но я просто ошибся (ошибка, кстати, забавная получилась). Бывает ...

[lek]

nnosipov, я зациклился на задаче топик-стартера ... Sorry

[Anexroid]

В итоге, по первой задаче, получилось:

-- исправлено --
$f(A) \in K[A]$, где $K[A]$ - кольцо матричных многочленов действующих на $V$.
Тогда условие $A \in Ker f$ означает, что $f(A)V=0$
Далее, оператор $A$ - нормальный, т.е. $AA^*=A^*A$ и $A^*V \subset V$. Поэтому $A^*f(A)V \subset f(A)V$. Следовательно условие $f(A)V=0$ влечет равенство $A^*f(A)V=0$ или, что эквивалентно, $A^*Ker f \subseteq Ker f$, что и требовалось доказать

По второй:
Доказываем индукцией по размеру матрицы.
Для $n=1$ и $n=2$ утверждение очевидно.

Пусть утверждение верно для всех $k<n$ и пусть $A_n$ - матрица размера $n x n$.
Отметим элемент $a_{11}$ и дополнительный к нему главный минор $A_{n-1}$.

Поскольку матрица $A_{n-1}$ симметричная, она может быть приведена к диагональному виду некоторым ортогональным преобразованием.
Рассмотрим такое преобразование $A_n' = B^{-1}A_nB$.
Здесь ортогональная матрица $B_n$ имеет следующий блочно-диагональный вид:

В левом верхнем углу стоит 1, а дополнительным к ней блоком является ортогональная матрица $B_{n-1}$, приводящая минор $A_{n-1}$ к диагональному виду $A'_{n-1}$

Тогда будем иметь

$$det A_n = a_{11}detA'_{n-1} - \sum_{j = 2}^{n} a'_{1j}^2 \prod_{1 \ne i \ne j}^{n-2}a'_{ii} \leq a_{11}a_{22} \dots a_{nn}$$

, что и требовалось доказать


Вроде все верно, если есть какие то ошибки и неточности, или что-то в докзательстве неочевидно - прошу сообщить.

[lek]

По первой задаче:
1) Вместо "кольцо матричных многочленов над $V$" надо "кольцо матричных многочленов, действующих на $V$.
2) Вместо "Тогда условие $x\in Ker f(A)$" надо "Тогда условие $A\in Ker f$"
3) Вместо "что эквивалентно, $A^{*}Ker f(A)\in Ker f(A)$" лучше "что эквивалентно, $A^{*}Ker f\subseteq Ker f$"
Со второй задачей похоже все так...

[Anexroid]

Спасибо за помощь.

Пока ничего не ясно с третьей задачей, повторюсь:

Цитата:

Пусть $V$ - пространство эрмитовых матриц порядка 2 над полем $R$ с нулевым следом и $(A, B) = trAB, (A, B \in V)$
Доказать, что оператор, определенный правилом $X \mapsto AX^t\overline{A}, X\in V$ где $A$ - унитарная матрица, является ортогональным.

В данной задаче известен базис пространства V и известно, что $V$ - евклидово пространство.


И назрела еще одна проблема, думал получиться доказать - не получилось

Цитата:

Доказать, что любая унитарная матрица является произведением вещественной ортогональной и комплексной симметрической матриц

Думал, что это просто полярное разложение, доказывал исходя из этого. Получилось что нет, т.к в полярном разложении обе матрицы будут над полем комплексных чисел, а в данном случае - одна над полем вещественных, другая - над полем комплексных. Но, кажется, суть примерно такая же.