Помогите доказать 2 утверждения по алгебре

[Anexroid]

Цитата:

Да, по поводу произведения диагональных элементов. Боюсь, что вариант nnosipov -- всё-таки наиболее идеен.

У него два недостатка -- надо кое-что знать. Во-первых, что определитель любой матрицы Грама -- это квадрат соотв. сколько-то-там-мерного объёма. И, во вторых, что любая неотрицательная матрица есть некоторая матрица Грама. (Ну там ещё кой-какое жульничество за кадром осталось, но совсем уж мелкое.) Это всё надо доказывать, и всё это не вполне "для домохозяек", да.

Но дело в том, что, с одной стороны -- оба эти факта вполне идейны. А с другой -- какая-то техническая возня, по-видимому, уж всяко понадобится. Ну так пусть уж она лучше будет идейной.

Ну, с первым определением всё просто.
Пусть $A = (v_1, v_2, . . . , v_n)$. Тогда $G = A^TA$. Соответственно, её определитель $det G = (detA)^2$ и равен квадрату объёма.

А вот как доказать, что любая неотрицательная матрица - некоторая матрица Грама...

[Anexroid]

Цитата:

Я понял из условия, что - матричный полином. И предлагал для начала(!) разобрать случай, когда - тождественный оператор. Если с ним затык, то как дальше идти? Затем можно разобрать случай

Я вообще задачу понять не могу.

Если сформулировать её так, как сказал мой препод:
$A$ - нормальный оператор в пространстве $V$
$f(A) = B$ Нужно доказать, что из того, что $x \in KerB$ следует, что $A^*x \in KerB$

Ни из вашего примера, ни из этой формулировки ничего понять не могу(

[lek]

Anexroid в сообщении #451045 писал(а):

Я вообще задачу понять не могу

Anexroid, мой вам совет: разберите предложенные выше доказательства. По задаче 1 - сообщения lek и ewert (стр. 2). Док-во совершенно элементарно (ewert уложился в 1 строчку ). По задаче 2, если подход nnosipov вызывает трудности, разберите док-во lek на стр.2. Оно изложено достаточно подробно, хотя встречаются и опечатки. Удачи...

[мат-ламер]

У меня альтернативный совет (я не настаиваю). Пока ничего не читать, а попробовать самому переформулировать условие задачи так, чтобы там не встречались $ker$ и $f$.
$f$ лучше выразить в явном виде.

[ewert]

Anexroid в сообщении #451011 писал(а):

А вот как доказать, что любая неотрицательная матрица - некоторая матрица Грама...

Элементарно. Достаточно привести матрицу $A$ к диагональному виду $\Lambda$ унитарным преобразованием подобия: $A=U\,\Lambda\,U^*$, где $U$ -- унитарная матрица (составленная из ортонормированных собственных столбцов $A$). Тогда $A=B^*B$, где $B=\sqrt{\Lambda}\,U^*$. Т.е. $a_{ik}=(\vec b_k,\vec b_i)$, где $\vec b_k$ -- столбцы матрицы $B$.

[nnosipov]

ewert в сообщении #451121 писал(а):

Anexroid в сообщении #451011 писал(а):

А вот как доказать, что любая неотрицательная матрица - некоторая матрица Грама...

Элементарно. Достаточно привести матрицу $A$ к диагональному виду $\Lambda$ унитарным преобразованием подобия: $A=U\,\Lambda\,U^*$, где $U$ -- унитарная матрица (составленная из ортонормированных собственных столбцов $A$). Тогда $A=B^*B$, где $B=\sqrt{\Lambda}\,U^*$. Т.е. $a_{ik}=(\vec b_k,\vec b_i)$, где $\vec b_k$ -- столбцы матрицы $B$.

Можно, конечно, и так. Но с практической точки зрения здесь нужно искать собственные значения матрицы $A$, т.е. решать нелинейное алгебраическое уравнение. Между тем можно обойтись только линейными операциями, применив процесс ортогонализации для поиска ортонормированного базиса относительно скалярного умножения, заданного исходной квадратичной формой. В любом случае исходная задача оказывается весьма полезной для изучающих линейную алгебру.

[Anexroid]

Насчет определителя, не превосходящего произведения диагональных элементов, в формуле, предложенной lek

Утверждение верно, если

$$\prod_{1 \ne i \ne j}^{n-2}a_{ij} >= 0$$

т.к иначе у нас утверждение м.б не верно.

Как доказать, что произведение неотрицательно?

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #451139 писал(а):

Между тем можно обойтись только линейными операциями, применив процесс ортогонализации для поиска ортонормированного базиса относительно скалярного умножения, заданного исходной квадратичной формой.

Вот здесь я на самом деле оказался неправ, приношу всем свои извинения. Так что придётся приводить матрицу $A$ к диагональному виду, чтобы представить её как некоторую матрицу Грама (т.е. делать так, как посоветовал ewert). ТС, надеюсь, Вы не окончательно запутались?

[Anexroid]

nnosipov, запутался окончательно на самом деле. Чуть позже посвободнее буду, попробую всю инфу структурировать))

Если за это время еще ничего не изменится

[lek]

Anexroid в сообщении #451206 писал(а):

Утверждение верно, если

Вы правы... и я писал выше об опечатках (и некоторой небрежности). Но исправлять исходный пост не буду, исправлю здесь:
1) Вместо "Для $n=1$ утверждение очевидно..." надо "Для $n=1$ и $n=2$ утверждение очевидно..." (в противном случае для случая $n=2$ надо положить произведение в последней формуле равным 1).
2) В той же последней формуле, в выражении с суммой и произведением надо заменить все $a_{ij}$ на $a'_{ij}$ (в этом случае все $a'_{ii}\geq0$ ввиду диагональности минора $A'_{n-1}$, положительной определенности формы и инвариантности элемента $a_{11}=a'_{11}$ относительно выбранного преобразования) .
3) Строгое неравенство надо заменить на нестрогое.
Это пока все, что заметил.

Кстати, Anexroid, вы неверно переписали выражение с произведением. Должно быть $a_{ii}$, а не $a_{ij}$ как у вас. Это существенно...

[lek]

lek в сообщении #451222 писал(а):

в этом случае все $a'_{ii}\geq0$

Точнее, $a_{11}>0$ и $a'_{ii}\geq0$ при $i\ne1$... Инвариантность же элемента $a_{11}$ потребуется только на последнем шаге...

[ewert]

nnosipov в сообщении #451216 писал(а):

Вот здесь я на самом деле оказался неправ, приношу всем свои извинения.

Не совсем неправ, диагонализация действительно не обязательна. Достаточно разложения Холецкого $A=L\,L^*$ (которое реализуется чисто арифметически и никакой диагонализации не требует).

Хотя при чём тут $A$-ортогонализация (или даже $A^{-1}$-ортогонализация, которая хотя бы по размерности сколько-то правдоподобна) -- и впрямь ума не приложу. Кроме того, есть один ньюанец: у Холецкого кой-какие технические проблемы возникают в случае вырожденной матрицы (вполне преодолимые, но -- возникают). А при диагонализации -- никаких.

[nnosipov]

ewert в сообщении #451274 писал(а):

Хотя при чём тут $A$-ортогонализация (или даже $A^{-1}$-ортогонализация, которая хотя бы по размерности сколько-то правдоподобна) -- и впрямь ума не приложу.

В том-то и дело, что ни при чём! Просто померещилось, наваждение какое-то. Когда на бумаге решил пример посчитать, всё, естественно, и вскрылось. Так что ещё раз пардон. Тонкая эта наука --- линейная алгебра ...

[lek]

nnosipov, может я с утра туплю , но каких-либо сложностей у вас не вижу. Рассуждаем так:
1) В ортонормированном базисе строим прямоугольный параллепипед $V$ со сторонами $a_1,\dots,a_n$.
2) В том же базисе строим непрямоугольный параллепипед $V'$ со сторонами $a'_1,\dots,a'_n$.
3) Предполагаем, что оба параллепипеда имеют попарно равные длины сторон: $(a'_i,a'_i)=(a_i,a_i)$.
4) Сравниваем объемы параллепипедов: $Vol V>Vol V'$.
5) Замечаем, что для соответствующих определителей матриц Грама $(\det G)^2>(\det G')^2$.
6) Вводим обозначения: $a_{ij}=(a_i,a_j)$ и $a'_{ij}=(a'_i,a'_j)$.
7) Используя равенства $\det G=a_{11}\cdots a_{nn}=a'_{11}\cdots a'_{nn}$, окончательно имеем:

$$ a'_{11}\cdots a'_{nn}>\det G'. $$

Sorry, исправил...

[nnosipov]

lek в сообщении #451438 писал(а):

nnosipov, может я с утра туплю , но каких-либо сложностей у вас не вижу. Рассуждаем так:
1) В ортонормированном базисе строим прямоугольный параллепипед $V$ со сторонами $a_1,\dots,a_n$.
2) В том же базисе строим непрямоугольный параллепипед $V'$ со сторонами $a'_1,\dots,a'_n$.
3) Предполагаем, что оба параллепипеда имеют попарно равные длины сторон: $(a'_i,a'_i)=(a_i,a_i)$.
4) Сравниваем объемы параллепипедов: $Vol V>Vol V'$.
5) Замечаем, что для соответствующих определителей матриц Грама $(\det G)^2>(\det G')^2$.
6) Вводим обозначения: $a_{ij}=(a_i,a_j)$ и $a'_{ij}=(a'_i,a'_j)$.
7) Используя равенства $\det G'=a'_{11}\cdots a'_{nn}=a_{11}\cdots a_{nn}$, окончательно имеем:

$$ \det G>a_{11}\cdots a_{nn}. $$

lek, здесь все ok, но проблема вот в чём: нужно показать, что класс положительно определённых симметричных матриц $A$ совпадает с классом матриц Грама $G$ (ведь в условии задачи дана матрица $A$, а не матрица $G$).