Великая теорема Ферма, n=3

[Alexey2]

Уравнение $a^3+b^3=c^3$ не имеет натуральных решений $a$, $b$ и $c$.

Здравствуйте, Уважаемые форумчане!

Решил опубликовать ещё один опус. Рассматривать буду только третью степень.
Весь текст разделен на параграфы и размещать на форуме буду постепенно, что бы по мере поступления вопросов отвечать на них.

§1.

1. $\left\{ \begin{matrix} (x-a)^3+a^3=c^3 \\ (x-b)^3+b^3=c^3 \\ a^3+b}^3=(a+y)^3\\ a^3+b^3=(b+z)^3 \\ \end{matrix}$

$x=a+b,x\in \mathbb{N}, y=c-a,y\in \mathbb{N}, z=c-b,z\in \mathbb{N}$

2. Решим первое уравнение системы относительно переменной $x$.
$(x-a)^3+a^3=c^3$

3. $x^3-3x^2a+3xa^2-a^3+a^3=c^3$

4. $c^3=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=x\cdot k_1$

5. $k_1=(a^2-ab+b^2)$, $k_1\in \mathbb{N}$

6. $x^3-3x^2a+3xa^2-k_1x=0$

7. $x=0\Rightarrow c=0$

8. $x^2-3xa+3a^2-k_1=0$

9. Так как все коэффициенты уравнения – целые числа, то все рациональные корни (если они существуют) имеют вид $x_0=\frac{p}{q}$, где $p$ – делитель свободного члена, а $q$ – делитель старшего члена. Так как $q=1$, то корень будет делителем свободного члена.

$x_0=\frac{3a^2-k_1}{m_1}$, $m_1\in \mathbb{Z}$

10. $m_1=\frac{3a^2-k_1}{x}=\frac{3a^2}{x}-\frac{k_1}{x}=\frac{3a^2}{x}-\frac{k_1 \cdot x}{x \cdot x}=\frac{3a^2}{x}-\frac{c^3}{x^2}$

11. $m_1=\frac{3a^2}{x}-\frac{c^3}{x^2}$

12. Так как $x\ne 0$, то умножив на $x^2$ и перенеся все слагаемые в одну сторону, получим следующее уравнение:
$m_1x^2-3a^2x+c^3=0$

[venco]

Alexey2, вас не смущает, что $k_1$ зависит от $b$?
И если подставить его значение в (8), то можно легко найти 2 тривиальных целых решения.

[Alexey2]

Уважаемый venco, спасибо за проявленный интерес и за вопрос.

Да, действительно при $k_1=a^2-ab+b^2$ уравнение $x^2-3xa+3a^2-k_1=0$ запишется в следующем виде:
$x^2-3xa+3a^2-a^2+ab-b^2=0$

$D=9a^2-4(2a^2+ab-b^2)=a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2$
$x_{1,2}=\frac{3a\pm \sqrt(a-2b)^2}{2}$
$x_1=\frac{3a+a-2b}{2}=2a-b$
$x_2=\frac{3a-a+2b}{2}=a+b$

или
Уравнение $x^2-3xa+3a^2-k_1=0$ при $k_1=a^2-ab+b^2$ и $x=a+b$ превращается в тождество
$(a+b)^2-3(a+b)a+3a^2-a^2+ab-b^2=0$
$a^2+2ab+b^2-3a^2-3ab+3a^2-a^2+ab-b^2=0$

Как видим, все члены сокращаются, получаем тождество $0\equiv 0$

Происходит это от того, что уравнения $x^2-3xa+3a^2-k_1=0$ при $k_1=a^2-ab+b^2$ и $(x-a)^3+a^3=c^3$ равносильны, т.е. имеют одно и те же множество корней $x=a+b$,
а при $k_1=a^2-ab+b^2$ уравнение $x^2-3xa+3a^2-k_1=0$ превращается в тождество.
Поэтому это факт меня не смущает.

После преобразований (п9...п12) уравнения $x^2-3xa+3a^2-k_1=0$ получили новое уравнение $m_1x^2-3a^2x+c^3=0$
Если уравнение равносильно то существование (не существование) натуральных корней уравнений $m_1x^2-3a^2x+c^3=0$ и $(x-a)^3+a^3=c^3$ будут выполняться одновременно.
То есть, если уравнение $m_1x^2-3a^2x+c^3=0$ неразрешимо в натуральных числах, то и уравнение $(x-a)^3+a^3=c^3$ тоже будет неразрешимо в натуральных числах.
Если уравнение не равносильно, то п.1....п.12 неверны.
Эту основную идею я и пытаюсь показать в этом параграфе.

[venco]

Alexey2 в сообщении #447340 писал(а):

То есть, если уравнение $m_1x^2-3a^2x+c^3=0$ неразрешимо в натуральных числах

Оно разрешимо, если не учитывать, что $m_1$ - не независимая переменная. А если зависимая, то подставьте её выражение, и опять получите тождество.

[Alexey2]

Уважаемый venko,
уравнение $m_1x^2-3a^2x+c^3=0$ равносильно $(x-a)^3-a^3=c^3$, поэтому существовать натуральные корни будут одновременно (при одних и тех же условиях).
Вы с этим высказыванием согласны?

Уравнение $m_1x^2-3a^2x+c^3=0$ разрешимо. Параграф№2 посвящен этому вопросу, т.е. нахождение условий, при которых это уравнение разрешимо в целых числах (а значит и уравнение$ (x-a)^3-a^3=c^3$).

[r-aax]

Ждем параграф 2. Хотелось бы услышать какой-нибудь вывод.

[Alexey2]

Здравствуйте, уважаемый r-aax.
Приятно, что вы тоже присоединились к дискуссии.

§2.

$m_1x^2-3a^2x+c^3=0$
Решим уравнение.
1. По теореме Ф. Виета:
$\left\{ \begin{matrix} x_1+x_2=\frac{3a^2}{m_1} \\ x_1\cdot x_2=\frac{c^3}{m_1} \\ \end{matrix} \right.$

2. Так как $x=a+b$, то хотя бы один из корней – натуральное число.
Допустим $x_1=a+b$, $x_1\in\mathbb{N}$, тогда $a^3+b^3=c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\Rightarrow c^3\vdots(a+b)\Rightarrow c^3\vdots{x_1}$

3. $x_2=\frac{c_1}{m_1}$, $c_1\in \mathbb{N}$, $c^3\vdots c_1$

4. Из второго уравнения системы (§2. п.1) $x_1=c_2^3$ или $x_1=c_1\cdot c_3$

$c_2,c_3\in \mathbb{N}$, $c^3\vdots c_2$, $c^3\vdots c_3$

5. Если $x_1=c_2^3$, то $a+b=c_2^3$

6. Если $x_1=c_1\cdot c_3$, то из первого уравнения системы (§2. п.1) следует $c_1\cdot c_3+\frac{c_1}{m_1}=\frac{3a^2}{m_1}$ или $\frac{c_1(m_1c_2^3+1)}{m_1}=\frac{3a^2}{m_1}$

7. $c_1(m_1c_2^3+1)=3a^2$

8. $c\bot a\Rightarrow c_1\bot a^2\Rightarrow c_1=3$ или $c_1=1$

9. Если $c_1=3\Rightarrow c\vdots 3$

10. Если $c_1=1$ \Rightarrow $\bmod ((a+b),(a^2-ab+b^2))\ne 1$

11. Рассмотрим числа $(a+b)$ и $(a^2-ab+b^2)$

12. $(a+b)$ и $(a^2+2ab+b^2)-3ab$

13. $\bmod ((a+b),(a^2+2ab+b^2))\ne 1$

14. Рассмотрим числа $(a+b)$ и $3ab$

$a\bot b\Rightarrow a\bot (a+b),b\bot (a+b)\Rightarrow ab\bot (a+b)$

15. $a+b=3\Rightarrow c \vdots 3$

16. То есть первое уравнение системы (§1. п.1) имеет цело численные решения $x$ тогда, когда $a+b=c_2^3$ или $c\vdots 3$. Если решать второе уравнение системы относительно переменной $x$, то окажется при тех же условиях уравнение будет иметь целые корни.

[r-aax]

Alexey2 в сообщении #449310 писал(а):

4. Из второго уравнения системы (§2. п.1) $x_1=c_2^3$ или $x_1=c_1\cdot c_3$

$c_2,c_3\in \mathbb{N}$, $c^3\vdots c_2$, $c^3\vdots c_3$

Как это получилось? Подставив $x_2$ из предыдущего пункта, получим $x_1 = \frac{c^3}{c_1}$ (по опрелелению $c_1$).

[Alexey2]

Уважаемый r-aax, cпасибо за вопрос.

Подставив $,x_2=\frac{c_1}{m_1}$, во второе уравнения системы §2 п.1 ($x_1\cdot x_2=\frac{c^3}{m_1})$
получим следующее уравнение:
$x_1\cdot \frac{c_1}{m_1}=\frac{c^3}{m_1}$ или $x_1\cdot c_1=c^3$

Возможны 2 случая:

1. $x_1$ и $c_1$ взаимно простые числа.

Рассмотрим уравнение $x_1\cdot c_1=c^3$

Известно, что если произведение двух взаимно простых чисел является $n$-й стеренью, то каждый из сомножителей также будет $n$-й стеренью.
Подробнее можно прочитать, например, в следующей книге.
[М.М.Постников. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. М., 1978 г., С. 19].
Если есть необходимость, могу написать вывод, применимо к уравнению $x_1\cdot c_1=c^3$

Таким образом, если $x_1\bot c_1$ и $x_1\cdot c_1=c^3$, то $x_1=c_2^3$,$c_2 \in \mathbb{N}$, $c^3\vdots c_2$
Если $x_1=c_2^3$, то $a+b=c_2^3$

2. $x_1$ и $c_1$ не взаимно простые.
Допустим $(x_1,c_1)=c_1$,
тогда $x_1=c_1\cdot c_3$, $c_1=c_1$
$c_3 \in \mathbb{N}$, $c^3\vdots c_3$
Этот случай рассмотрен в §2.
Надо сказать, что случай, рассмотренный в §2, является не общим, а лишь охватывает случай, когда $x_1$ кратно $c_1$.

Наиболее верны будут следующие рассуждения.

Допустим $(x_1,c_1)=c_3$,
тогда $\left\{ \begin{matrix} x_1=c_3 \cdot c_4 \\ c_1=c_3\cdot c_5 \\ \end{matrix} \right.$

$c_3,c_4,c_5 \in \mathbb{N}$, $c^3\vdots c_3$, $c^3\vdots c_4$, $c^3\vdots c_5$

Подставив $x_1=c_3 \cdot c_4$ и $c_1=c_3\cdot c_5$ в первое уравнение системы §2 п.1, получим следующее уравнение:
$c_3 \cdot c_4+\frac{c_3\cdot c_5}{m_1}=\frac{3a^2}{m_1}$

или $\frac{c_3(c_4\cdot m_1+ c_5)}{m_1}=\frac{3a^2}{m_1}$

или $c_3(c_4\cdot m_1+ c_5)=3a^2$


$c\bot a\Rightarrow c_3\bot a^2\Rightarrow c_3=3$ или $c_3=1$

Если $c_3=3\Rightarrow c\vdots 3$

Если $c_3=1$, то $((a+b),(a^2-ab+b^2))\ne 1$

Рассмотрим числа $(a+b)$ и $(a^2-ab+b^2)$

$(a+b)$ и $((a^2+2ab+b^2)-3ab)$

$((a+b),(a^2+2ab+b^2))\ne 1$

Рассмотрим числа $(a+b)$ и $3ab$

$a\bot b\Rightarrow a\bot (a+b),b\bot (a+b)\Rightarrow ab\bot (a+b)$

$a+b=3\Rightarrow c\vdots 3$

То есть первое уравнение системы (§1. п.1) имеет цело численные решения тогда, когда $a+b=c_2^3$ или $c\vdots 3$. Если решать второе уравнение системы относительно переменной $x$, то окажется при тех же условиях уравнение будет иметь целые корни.

[r-aax]

Можно написать просто
$(a + b, a^2 - ab + b^2) = (a + b, a^2 - 2ab) = (a + b, -3ab) = (a + b, 3ab)$.

Какой все-таки вывод?

[Alexey2]

Уважаемый r-aax, с вашим замечанием согласен. Действительно, можно записать намного проще.
Основной вывод, полученный в первых двух параграфах:
«Уравнение $m_1x^2-3a^2x+c^3=0$ (а значит и $(x-a)^3+a^3=c^3$) имеет решения в натуральных числах тогда, когда выполняется одно из условий:
1. $a+b=c_2^3$, $c_2 \in \mathbb{N}$
2. $c \vdots 3$»

К этому выводу можно прийти и другими путями (я знаю еще, как минимум, два).
Кстати, второй параграф - не последний.

На предыдущий вопрос вы получили нормальный ответ? Может стоит дать ещё какие-нибудь пояснения?

[r-aax]

Alexey2 в сообщении #450904 писал(а):

«Уравнение $m_1x^2-3a^2x+c^3=0$ (а значит и $(x-a)^3+a^3=c^3$) имеет решения в натуральных числах тогда, когда выполняется одно из условий:
1. $a+b=c_2^3$, $c_2 \in \mathbb{N}$
2. $c \vdots 3$»

Давайте переходить к следующему параграфу.

[Alexey2]

§3.

1.Решим третье уравнение системы относительно переменной $y$.
$a^3+b^3=(a+y)^3$

2. Аналогично, как для первого уравнения системы (см. §1), раскроем скобки, введем замену переменной ($b^3=k_2\cdot y$), перенесем все слагаемые в одну сторону, получим следующее уравнение.

3. $y^3+3ay^2+3a^2y-k_2y=0$

4. $y=0 \Rightarrow b=0$

5. $y^2+3ay+3a^2-k_2=0$

6. $y_0=\frac{3a^2-k_2}{m_2}$, $m_2\in \mathbb{Z}$

7. $m_2=\frac{3a^2-k_2}{y}=\frac{3a^2}{y}-\frac{k_2}{y}=\frac{3a^2}{y}-\frac{k_2\cdot y}{y\cdot y}=\frac{3a^2}{y}-\frac{b^3}{y^2}$

8. $m_2=\frac{3a^2}{y}-\frac{b^3}{y^2}$

9. Так как $y\ne 0$, то получим следующее уравнение:

$m_2y^2-3a^2y+b^3=0$

Пусть $m_2$ - любое целое число ( Если уравнение справедливо для любого числа $m_2$, то оно справедливо и для $m_2=\frac{3a^2}{y}-\frac{b^3}{y^2}$)

10. По теореме Ф. Виета:
$\left\{ \begin{matrix} y_1+y_2=\frac{3a^2}{m_2} \\ y_1\cdot y_2=\frac{b^3}{m_2} \\ \end{matrix} \right.$

11. Так как $y=c-a$, то хотя бы один из корней – натуральное число.
Пусть $y_1\in \mathbb{N}$, тогда $,y_2=\frac{b_1}{m_2}$, $b_1\in \mathbb{N}$, $b^3\vdots b_1$

12. Подставив $y_2=\frac{b_1}{m_2}$, во второе уравнения системы §3 п.10 ($y_1\cdot y_2=\frac{b^3}{m_2})$
получим следующее уравнение:
$y_1\cdot \frac{b_1}{m_2}=\frac{b^3}{m_2}$ или $y_1\cdot b_1=b^3$

13. Если $y_1$ и $b_1$ взаимно простые числа, то $y_1=b_2^3$,$c_2 \in \mathbb{N}$, $b^3\vdots b_2$

14. $y_1=b_2^3 \Rightarrow c-a=b_2^3$

15. $y_1$ и $b_1$ не взаимно простые.

16. Допустим $(y_1,b_1)=b_3$,
тогда $\left\{ \begin{matrix} y_1=b_3 \cdot b_4 \\ b_1=b_3\cdot b_5 \\ \end{matrix} \right.$

$b_3,b_4,b_5 \in \mathbb{N}$, $b^3\vdots b_3$, $b^3\vdots b_4$, $b^3\vdots b_5$

17. Подставив $y_1=b_3 \cdot b_4$ и $b_1=b_3\cdot b_5$ в первое уравнение системы §3 п.10, получим следующее уравнение:
$b_3 \cdot b_4+\frac{b_3\cdot b_5}{m_2}=\frac{3a^2}{m_2}$

или $\frac{b_3(b_4\cdot m_2+ b_5)}{m_1}=\frac{3a^2}{m_2}$

или $b_3(b_4\cdot m_2+ b_5)=3a^2$

(значение переменной $m_2$ никак не влияет на условия решения уравнения §3 п.9 в целых числах).

18. $b\bot a\Rightarrow b_3\bot a^2\Rightarrow b_3=1$ или $b_3=3$

19. Если $b_3=3\Rightarrow b\vdots 3$

20. Если $b_3=1$, то $ ((c-a),(c^2+ca+a^2))\ne 1$
(Случай $c-a=1$ равносилен случаю $c-a=b_2^3$).

21. Рассмотрим числа $(c-a)$ и $(c^2+ca+a^2)$

22. $(c-a)$ и $((c^2-2ca+a^2)+3ca)$

23. $((c-a),(c^2-2ca+a}^2))\ne 1$

24. Рассмотрим $(c-a)$ и $3ca$
$a\bot c\Rightarrow a\bot (c-a),c\bot (c-a)\Rightarrow ac\bot (c-a)$

25. $(c-a)=3\Rightarrow b\vdots 3$

26. Третье уравнение системы §1п.1 $a^3+b^3=(a+y)^3 $ имеет цело численные решения тогда, когда выполняется одно из условий:$(c-a)=b_2^3$ или $b \vdots 3$.

27. Решив четвертое уравнение системы §1п.1 $a^3+b^3=(b+z)^3 $ относительно переменной $z$, получим следующие условия $c-b=a_2^3$ или $a \vdots 3$.

28. Так как все уравнения выполняются одновременно, то получим следующую систему, при которых существуют цело численные корни $x$, $y$, $z$.

$\left\{ \begin{matrix} c\vdots 3 \\ b\vdots 3 \\ a\vdots 3 \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} \vee a+b=c_1^3 \\ \vee c-a=b_1^3 \\ \vee c-b=a_1^3 \\ \end{matrix}$

29. Числа $a$, $b$, $c$- взаимно простые, значит, возможны два случая решения системы (§3. п.28), а значит и системы уравнений §1. п.1 и уравнения $a^3+b^3=c^3$ :
случай №1– ни один из членов $a$, $b$, $c$ не делится нацело на 3.
случай №2– один из членов $a$, $b$ или $c$ делится нацело на 3.

30. Вывод, полученный в параграфе №3.
"Система уравнений §1. п.1 . $\left\{ \begin{matrix} (x-a)^3+a^3=c^3 \\ (x-b)^3+b^3=c^3 \\ a^3+b}^3=(a+y)^3\\ a^3+b^3=(b+z)^3 \\ \end{matrix}$
имеет цело численные решения $x$, $y$, $z$ (а значит и уравнение $a^3+b^3=c^3$ решения $a$, $b$, $c$) тогда, когда справедлива следующая система уравнений:
$\left\{ \begin{matrix} c\vdots 3 \\ b\vdots 3 \\ a\vdots 3 \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} \vee a+b=c_1^3 \\ \vee c-a=b_1^3 \\ \vee c-b=a_1^3 \\ \end{matrix}$
"

p.s.
За что люблю математику, так это вот за это:
Вместо первых трех параграфов можно было записать примерно так.
Участник под именем r-aax (Молодец! Увидел) указывал в сообщении на это.

r-aax в сообщении #450544 писал(а):

Можно написать просто
$(a + b, a^2 - ab + b^2) = (a + b, a^2 - 2ab) = (a + b, -3ab) = (a + b, 3ab)$.

Запишем иначе:

$a^3+b^3=c^3$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=c_1^3\cdot c_2^3=c^3$
$c_1\cdot c_2=c$
$(a+b)\bot(a^2-ab+b^2)\Rightarrow (a+b)=c_1^3$
$((a+b)(a^2-ab+b^2))\ne 1$
$((a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab))\ne 1\Rightarrow (a+b)\vdots3 \Rightarrow c\vdots3 $

$b^3=c^3-a^3$
$c^3-a^3=(c-a)(c^2-ca+a^2)=b_1^3\cdot b_2^3=b^3$
$b_1\cdot b_2=b$
$(c-a)\bot(c^2+ca+a^2)\Rightarrow (c-a)=b_1^3$
$((c-a)(c^2+ca+a^2))\ne 1$
$((c-a)(c^2-2ca+a^2+3ca))\ne 1\Rightarrow (c-a)\vdots3 \Rightarrow b\vdots3 $

$a^3=c^3-b^3$
$c^3-b^3=(c-b)(c^2-cb+b^2)=a_1^3\cdot a_2^3=a^3$
$a_1\cdot a_2=b$
$(c-b)\bot(c^2+cb+b^2)\Rightarrow (c-b)=a_1^3$
$((c-b)(c^2+cb+b^2))\ne 1$
$((c-b)(c^2-2cb+b^2+3cb))\ne 1\Rightarrow (c-b)\vdots3 \Rightarrow a\vdots3 $

$\left\{ \begin{matrix} c\vdots 3 \\ b\vdots 3 \\ a\vdots 3 \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} \vee a+b=c_1^3 \\ \vee c-a=b_1^3 \\ \vee c-b=a_1^3 \\ \end{matrix}$

Как видим, пришли к одному и тому же выводу:
"Уравнение $a^3+b^3=c^3$ имеет натуральные решения $a$, $b$, $c$ тогда, когда справедлива следующая система уравнений:
$\left\{ \begin{matrix} c\vdots 3 \\ b\vdots 3 \\ a\vdots 3 \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} \vee a+b=c_1^3 \\ \vee c-a=b_1^3 \\ \vee c-b=a_1^3 \\ \end{matrix}$
"

[ananova]

Судя по тому, что эти выводы совпадают с соотношениями Барлоу, то, видимо, ошибок в выводах нет. Только зачем это делать, если эти результаты повторяют Барлоу?

[Alexey2]

Уважаемый(ая) ananova здравствуйте.
Я рад, что вы тоже присоединились к дискуссии.

Cоотношения Барлоу мне известны.

ananova в сообщении #451878 писал(а):

Только зачем это делать, если эти результаты повторяют Барлоу?

На этот вопрос я пока ответ не знаю.

Если нет возражений и замечаний перейдем к четвертому параграфу, в котором рассмотрим первый случай решения уравнения $a^3+b^3=c^3$, где ни один из членов $a$, $b$, $c$ не делится на 3.