множества. отношение эквивалентности

[Профессор Снэйп]

Пусть $f : A \to B$ --- произвольная функция. Тогда

$$ \{ \langle x,y \rangle \in A^2 : f(x) = f(y) \} $$

является отношением эквивалентности на $A$. Здесь частный случай $A = \mathbb{R}^2$, $B = \mathbb{R}$, $f(\langle a,b \rangle) = a^2 + b^2$.

[Gortaur]

Профессор Снэйп
По-моему, у Вас неточность: сначала $\langle a,b \rangle \in A^2$ и они эквивалентны, а потом $\langle a,b \rangle \in A$ и они просто 2 координаты одной точки.

[Sverest]

А можно это доказать с помошью матрицы, я смотрел в каком то примере, надо только симетричность относительно главной диагонали посмотреть и еще что-то

[Gortaur]

Думаю, матрица это для случая с конечным числом элементов.

[Профессор Снэйп]

Gortaur в сообщении #448740 писал(а):

Профессор Снэйп
По-моему, у Вас неточность: сначала $\langle a,b \rangle \in A^2$ и они эквивалентны, а потом $\langle a,b \rangle \in A$ и они просто 2 координаты одной точки.

Это Вам лишь кажется

$A = \mathbb{R}^2$, $B = \mathbb{R}$, отношение эквивалентности на $A$ есть подмножество $A^2$. Элементы $A$ --- пары действительных чисел, функция $f$ отображает такие пары в действительные числа, эквивалентность может связывать два элемента $A$ (то есть две пары действительных чисел), а может и не связывать; связывает тогда и только тогда, когда $f$ принимает на обоих парах-элементах $A$ одинаковые значения. У меня всё чодко

Кстати, формально любую эквивалентность можно задать описанным выше способом: достаточно в качестве $B$ взять фактор-множество, а в качестве $f$ --- отображение, сопоставляющее элементам $A$ содержащие их классы эквивалентности. В общем случае такое представление бывает надуманным, хотя часто $f$ и $B$ задаются естественно. Как, например, здесь: $A$ --- точки плоскости, $B$ --- неотрицательные действительные числа, значение $f$ --- расстояние от точки до центра координат.

[Gortaur]

Все же мне неясно, почему сначала условие $<x,y>:f(x) = f(y)$ а затем $f(<a,b>) = a^2+b^2$, а не $f(x) = x_1^2+x_2^2$. Тогда бы и получилось, что $xRy$ тогда и только тогда, когда $f(x) = f(y)$.

[Профессор Снэйп]

Gortaur в сообщении #449437 писал(а):

Все же мне неясно, почему сначала условие $<x,y>:f(x) = f(y)$ а затем $f(<a,b>) = a^2+b^2$, а не $f(x) = x_1^2+x_2^2$.

Я кажется понял, Вас буковки смущают.

Буква $a$ ничем не хуже буквы $x$, впрочем, и не лучше. Я могу использовать $a$ и $b$ как для обозначения отдельных действительных чисел, так и для обозначения пар таких чисел. В данном сообщении я выбрал первый вариант. В выключной формуле $x$ и $y$ обозначают пары действительных чисел, а в последней строчке $a$ и $b$ --- сами действительные числа. Типа $x = \langle a, b \rangle$, так что $f(x)$ и $f(\langle a,b \rangle)$ обозначает одно и то же

Я понимаю, в школе приучают обозначать множества большими буквами, их элементы маленькими, над векторами писать стрелочки... Но это для тормозов, а вообще любой буквой можно обозначить всё, что угодно. Любой математический объект имеет право на сколь угодно короткое имя! Пора отучаться от вредных школьных привычек...

[Joker_vD]

Профессор Снэйп в сообщении #449442 писал(а):

Я понимаю, в школе приучают обозначать множества большими буквами, их элементы маленькими, над векторами писать стрелочки... Но это для тормозов, а вообще любой буквой можно обозначить всё, что угодно. Любой математический объект имеет право на сколь угодно короткое имя! Пора отучаться от вредных школьных привычек...

Иначе вы никогда не сможете и помыслить о том, чтобы написать $\{ x \mid x \notin x \}$

[Gortaur]

Мне немного мешает размерность пространства. Если бы $A = \mathbb{R}^3$, и мы от окружностей перейдем к сферам. Вы бы написали, что

Цитата:

Пусть $f:A\to B$ --- произвольная функция. Тогда

$$ \{\langle x,y\rangle \in A^2: f(x) = f(y)\} $$

является отношением эквивалентности на $A$. Здесь частный случай $A = \mathbb{R}^3,B = \mathbb{R},f(\langle a,b,c\rangle) = a^2+b^2+c^2$.

Дело в том, что я эти треугольные скобочки не знаю как применять. Здесь я их правильно поставил?

[Профессор Снэйп]

Gortaur в сообщении #449542 писал(а):

Дело в том, что я эти треугольные скобочки не знаю как применять. Здесь я их правильно поставил?

Да, правильно

Ряд чисел (и не только чисел), написанных в треугольных скобочках, обозначает элемент декартова произведения. Если $a,b,c \in \mathbb{R}$, то $\langle a,b,c \rangle \in \mathbb{R}^3$.

Иногда вместо треугольных скобочек пишут круглые, просто потому, что они привычнее и легче пишуться. Но здесь всё же лучше треугольные: Вы кортеж из трёх чисел --- элемент $\mathbb{R}^3$, подставляете в аргумент функции, и если для кортежей использовать круглые скобки, то получится две пары круглых скобок подряд. Не очень красиво.

[Gortaur]

Все это несколько печально.

Формально, Ваше утверждение верно если использовать треугольные скобки для элементов любых прямых произведений. Конечно, обозначения могут быть использованы любые.

С другой стороны, обозначения несут еще и задачу сделать повествование понятным для читателя. ТС не очень хорошо разбирается в теме, и не стоило бы его сбивать. имхо, использовать эти скобки и для элементов произведение $A\times A$, и для элементов $A = \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ - плохо хотя бы по той причине, что речь идет о пространствах с одинаковой размерностью, а их элементы несут различную смысловую нагрузку (или Вы предлагате писать $\langle x,y \rangle = \langle \langle a,b \rangle,\langle c,d \rangle\rangle$ - тогда вылезут двойные скобки). Тем более, что обозначение через данные скобки для Декартова произведения не является эталоном в общих дисциплиных типа анализа, в отличие от круглых. А проблему с двойными круглыми скобками давно уже решили так

$$ f(x) = f(x_1,x_2). $$

С этим путаниц не возникает.

Небрежное отношение к удобности обозначений - признак неоправданного математического снобизма. Самому понять что-то задача более легкая, чем уметь это "что-то" объяснять.

[Joker_vD]

Профессор Снэйп в сообщении #449546 писал(а):

и если для кортежей использовать круглые скобки, то получится две пары круглых скобок подряд.

Не-а, внешняя пара при этом опускается. Это как в теорвере пишут не $P(\{\xi = a\})$, а просто $P\{\xi = a\}$.

[arseniiv]

А разве $\{\xi = a \}$ верное обозначение? Надо ведь $\{ \omega \;{\color{blue}[\in \Omega]} \mid \xi(\omega) = a \}$.

Интересно, никто не писал вот так: $A\colon \xi(A) = \{a\}$?

-- Чт май 26, 2011 23:45:19 --

(Оффтоп)

Предлагаю сокращение $\{P(\diamond)\}$ для $\{x \mid \ P(x)\}$.
Тогда $\{\xi = a \}$ превратится в только чуть сложнее выглядящее, но более корректное $\{\xi(\diamond) = a \}$.

[Gortaur]

$\xi\in A$ во-первых, конечно, упрощение формулы. Во-вторых, снижает головную боль от аксиоматики Колмогорова. То есть можно говорить про "вероятность того, что кси принадлежит А", что больше отвечает нашим ожиданиям, чем "вероятность подмножества омега, на котором кси принадлежит А".

[Joker_vD]

arseniiv
Обозначение бывает либо употребительным, либо неупотребительным. Также можно их делить на удобные/неудобные и приводящие/неприводящие к коллизиям с другими обозначениями. Так вот, $P\{\xi = a\}$ — удобное, неприводящее к коллизиям, и (вроде бы) употребительное.

А "верное обозначение" — термин бессмысленный.