Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1

[creator777]

Лукомор в сообщении #448096 писал(а):

creator777 в сообщении #448085 писал(а):

Знаком "равно" я ввел зависимость одной переменной от другой. Т.е. они перестали быть независимыми переменными(!) Одна из них перестала быть аргументом, т.к. не сможет теперь принимать произвольные значения.

Вот только жаль, что Вы забыли упомянуть об этом в условии теста.
И до сих пор неясно, являются ли, по условию теста, объём и высота цилиндра функциями от радиуса, или же наоборот, объём цилиндра является функцией радиуса, а радиус является функцией высоты цилиндра....
А поскольку задача некорректно поставлена, то и решения могут быть различными...

Ошибочка Ваша...

Читаем условие задачи: " Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_c=f(r)=\pi r^3$."

Итак:

1. " Пусть объем цилиндра..." (т.е. Дано: $V(r,h)=\pi r^2h$);

2. "...с высотой, равной радиусу основания..." (т.е. $r(h)=r$);

3. "...$(V_c)$ - есть функция радиуса $r$..." (т.е. аргумент остался один (!)).

Что в условии некорректного?

-- Пт май 20, 2011 22:56:04 --

Dan B-Yallay в сообщении #448108 писал(а):

...Судя по некорректно поставленному вопросу...

Аргументируйте обвинение! Покажите некорректность и исправьте ее. Иначе Вы пустотреп...

-- Пт май 20, 2011 22:57:52 --

gris в сообщении #448109 писал(а):

creator777 писал(а):

Это не определенный интеграл.

Формально, это интеграл с переменным верхним пределом, но вроде бы, таковые относятся к определённым.

Определенный интеграл - это вполне определенное число. Назовите его!

-- Пт май 20, 2011 23:10:24 --

Dan B-Yallay в сообщении #448108 писал(а):

... Вы недоучились или Вас отчислили....Я сам из них в прошлом

Вы знаете в чем суть конфликта, после которого мать Эдисона забрала его из школы и обучала самостоятельно на дому, в результате чего Эдисон и стал ЭДИСОНОМ? (по его же словам: останься он в школе - никогда бы не стал тем, кем он стал).

[Dan B-Yallay]

creator777 писал(а):

1) Аргументируйте обвинение! Покажите некорректность и исправьте ее. Иначе Вы пустотреп....
2) Bы знаете в чем суть конфликта, после которого мать Эдисона забрала его из школы и обучала самостоятельно на дому, в результате чего Эдисон и стал ЭДИСОНОМ? (по его же словам: останься он в школе - никогда бы не стал тем, кем он стал).
3) Что в условии некорректного?

1) Каждый индивидуум имеет право на свое собственное мнение..... (Кажется Ваше, недавнее).

2) Не льстите себе сравнивая себя с Эдисоном. Предоставьте это другим. Если, конечно, заслу'жите.

3)+1) Поставленные Вами условия ( $V$ зависит только от $r$) подразумевают $\dfrac {dV}{dr}=\dfrac{d}{dr}\pi r^3=3\pi r^2$, но об этом Вы почему-то умалчиваете..( вероятно вытащите позже) Кроме того, Вы не уточнили в виде какого интеграла. Нехорошо и некорректно. Они, знаете, разные бывают - с переменными пределами, неопределённые, от параметра. Поэтому получается столько разных ответов.
Даже и с этим требованием задача имеет по крайней мере 2 разных решения - Ваше и grisa. Укажите, где задачи имеющие множество решений принято считать корректными. Иначе Вы пустотреп(c).

(Оффтоп)

И да, решение grisa на мой взгляд более корректно.

[Someone]

gris в сообщении #448109 писал(а):

Формально, это интеграл с переменным верхним пределом, но вроде бы, таковые относятся к определённым.

Не "вроде бы", а совершенно точно определённый интеграл. Для неопределённого интеграла пределы интегрирования не указываются. Интеграл, для которого пределы интегрирования указаны - определённый. Соответственно, неопределённый интеграл определяется как множество первообразных, а определённый - как предел интегральных сумм, независимо от того, что указано в пределах интегрирования. Обозначения именно таковы, и если creator777 их не знает, это его личная проблема.

Вообще, не надоел ли всем этот балаган? Всё равно автора "теста" ни в чём убедить не удастся.

[Dan B-Yallay]

Вот Вам еще до кучи:

$$V_c(r) =r^3 \displaystyle\int_0^1 \pi dh$$

Цитата:

Итак: Читаем условие задачи: " Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_c=f(r)=\pi r^3$."
Bыразить $V_c$ в виде интеграла.

Что в условии решении некорректного?

[Munin]

creator777 в сообщении #448085 писал(а):

И вопрос состоял в том, чтобы определить геометрическую фигуру, получаемую в результате интегрирования.

Простите, а вы не могли бы привести пример, как в результате интегрирования может получиться геометрическая фигура? Я думал, в результате интегрирования получается число.

Жалко, что тема в итоге скучная... Я всё надеялся, что можно будет поговорить про произведение цепи на коцепь...

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Munin писал(а):

Жалко, что тема в итоге скучная... Я всё надеялся, что можно будет поговорить про произведение цепи на коцепь...

А шож поделаешь - pаздел такой, никогда не угадаешь.

creator777 писал(а):

2. Пусть объем трех конусов с высотой, равной радиусу основания $(V_3k)$ - есть функция радиуса $r$: $V_3k=f(r)=3\cdot \frac{1}{3} \pi r^3=\pi r^3$.
Выразить $V_3k$ в виде интеграла.
3. Пусть объем трех цилиндров с высотой, равной одной третьей радиуса основания $(V_3c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_3c=\pi r^3$.
Выразить $V_3c$ в виде интеграла.
Примечание:все три интеграла должны иметь различный вид, но одинаковое значение.

$$2) \qquad \dfrac {\pi r^3} 3 \int_0^3 dr \hspace{50pt}3) \qquad r^3\int_0^{\pi/3}3\ dy$$

Они достаточно различно выглядят?

[creator777]

А что это вдруг так?! Пришел "страшный дядя" АКМ, закрыл тему...и, вдруг, она "открылась"(!) Я такого чуда на этом форуме еще не наблюдал!

Ну, ладно, тогда форсируем топик. Беспредел, оказывается, отсюда никуда не ушел...Проще "заткнуть рот", чем полемизировать. Для чего только этот раздел озаглавили так "человечно": "Дискуссионные темы"? Хотя, по сути, здесь фашизм невежества...

К делу...

Dan B-Yallay в сообщении #448158 писал(а):

2) Не льстите себе сравнивая себя с Эдисоном. Предоставьте это другим. Если, конечно, заслу'жите.

Меня, в отличие от Вас (по Вашему же признанию), никто никогда ниоткуда не исключал. Более того, практически по всем предметам, за исключением ГОСов, я получал "самоэкзамены", единственный в истории ВУЗа...

Dan B-Yallay в сообщении #448158 писал(а):

3)+1) Поставленные Вами условия ( $V$ зависит только от $r$) подразумевают $\dfrac {dV}{dr}=\dfrac{d}{dr}\pi r^3=3\pi r^2$, но об этом Вы почему-то умалчиваете..( вероятно вытащите позже) Кроме того, Вы не уточнили в виде какого интеграла. Нехорошо и некорректно. Они, знаете, разные бывают - с переменными пределами, неопределённые, от параметра. Поэтому получается столько разных ответов.
Даже и с этим требованием задача имеет по крайней мере 2 разных решения - Ваше и grisa. Укажите, где задачи имеющие множество решений принято считать корректными. Иначе Вы пустотреп(c).И да, решение grisa на мой взгляд более корректно.

Похоже, с дифференцированием у Вас тоже проблемы, т.к. $\displaystyle\frac{dV}{dr}=\frac{\pi r^2\cdot h}{dr}=2\pi r\cdot h$. Как, имея здравый смысл, не понимать, что равенство высоты радиусу не превращает высоту в радиус?! Хотя, это если иметь здравый смысл...

Не уточнил, в виде какого интеграла???!!! Это от Вашего непонимания ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Т.к. фраза: "...высота, равная радиусу" интерпретируется однозначно:

$\displaystyle\int\limits_{0}^{r} (V_{C}(r,h) )'_{(h)}dh$

пределами интегрирования.

Подынтегральное выражение в формуле gris'а подразумевает то, что высота стала радиусом, а это не только некорректно, но...

-- Сб май 21, 2011 18:26:53 --

Someone в сообщении #448161 писал(а):

gris в сообщении #448109 писал(а):

Формально, это интеграл с переменным верхним пределом, но вроде бы, таковые относятся к определённым.

Не "вроде бы", а совершенно точно определённый интеграл. Для неопределённого интеграла пределы интегрирования не указываются. Интеграл, для которого пределы интегрирования указаны - определённый. Соответственно, неопределённый интеграл определяется как множество первообразных, а определённый - как предел интегральных сумм, независимо от того, что указано в пределах интегрирования. Обозначения именно таковы, и если creator777 их не знает, это его личная проблема.

Вообще, не надоел ли всем этот балаган? Всё равно автора "теста" ни в чём убедить не удастся.

Странно, но именно люди, недоучившие матанализ, голосуют за закрытие темы. Уважаемый, в результате "взятия" интеграла с переменным верхним пределом получается ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА(!!!!!) Где Вы видели, чтобы в результате вычисления определенного интеграла получалась ФУНКЦИЯ?! Читайте основную теорему матанализа!!!

-- Сб май 21, 2011 18:29:43 --

Dan B-Yallay в сообщении #448170 писал(а):

Вот Вам еще до кучи:

$$V_c(r) =r^3 \displaystyle\int_0^1 \pi dh$$

Цитата:

Итак: Читаем условие задачи: " Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_c=f(r)=\pi r^3$."
Bыразить $V_c$ в виде интеграла.

Что в условии решении некорректного?

Вам "неуд" за знание интегрального исчисления, потому, что пределы Вашего интеграла четко указывают, что высота равна единице. А по условию задачи она должна быть равна радиусу. НО ВЫ ЭТОГО ДАЖЕ НЕ ПОНИМАЕТЕ(!!!!!)

-- Сб май 21, 2011 18:32:32 --

Munin в сообщении #448173 писал(а):

creator777 в сообщении #448085 писал(а):

И вопрос состоял в том, чтобы определить геометрическую фигуру, получаемую в результате интегрирования.

Простите, а вы не могли бы привести пример, как в результате интегрирования может получиться геометрическая фигура? Я думал, в результате интегрирования получается число.

Жалко, что тема в итоге скучная... Я всё надеялся, что можно будет поговорить про произведение цепи на коцепь...

Очень интересная мысль...Значит, вы интегрируете по трем пространственным осям и получаете число(?!) А можно огласить число, полученное в результате вычисления Вашего интеграла?!

-- Сб май 21, 2011 18:36:57 --

Dan B-Yallay в сообщении #448181 писал(а):

creator777 писал(а):

2. Пусть объем трех конусов с высотой, равной радиусу основания $(V_3k)$ - есть функция радиуса $r$: $V_3k=f(r)=3\cdot \frac{1}{3} \pi r^3=\pi r^3$.
Выразить $V_3k$ в виде интеграла.
3. Пусть объем трех цилиндров с высотой, равной одной третьей радиуса основания $(V_3c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_3c=\pi r^3$.
Выразить $V_3c$ в виде интеграла.
Примечание:все три интеграла должны иметь различный вид, но одинаковое значение.

$$2) \qquad \dfrac {\pi r^3} 3 \int_0^3 dr \hspace{50pt}3) \qquad r^3\int_0^{\pi/3}3\ dy$$

Они достаточно различно выглядят?

Это пипец всему(!) Особенно высота, равная $\displaystyle\frac{\pi}{3}$(!!!)
НЕТ СЛОВ!!!

[gris]

О нет, слов у Вас как раз более, чем достаточно. Добрый модератор при(?)открыл тему, и Вы сразу стали кричать. Болдовый капслок это уже даже не крик, а просто ор какой-то.
И совершенно непонятно, чего Вы хотите? Просто поорать на собеседников? Но этим Вы даже обиды не добьётесь, только недоумения. И, главное, если бы Ваша несдержанность соседствовала с глубокими умными идеями, но их Вы тщательно скрываете.
Будьте же доброжелательнее.

[nestoklon]

creator777 в сообщении #448396 писал(а):

Ну, ладно, тогда форсируем топик.

Хорошо, гулять так гулять форсировать так форсировать.
Поскольку вы уже начали противоречить сами себе, задам вопрос:
Каким математическим объектом по-вашему является "интеграл по нескольким пространственным осям"?
Напоминаю, что в соответствии с пп. III.3.2-3 правил форума ответ на этот вопрос для вас обязателен.

[Munin]

Тему открыли по моей вине, и надеюсь, сейчас и закроют. Поводом для открытия был ответ на второй вопрос:

creator777 в сообщении #447015 писал(а):

2. Пусть объем трех конусов с высотой, равной радиусу основания $(V_3k)$ - есть функция радиуса $r$: $V_3k=f(r)=3\cdot \frac{1}{3} \pi r^3=\pi r^3$.
Выразить $V_3k$ в виде интеграла.

$$V_{3k}=\left[\int\limits_{0}^{\pi/6}\sin\theta\,d\theta\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\right.+$$

$$+\left.\int\limits_{\pi/3}^{2\pi/3}\sin\theta\,d\theta\left(\int\limits_{-\arccos(\cos\frac{\pi}{6}/sin\theta)}^{\arccos(\cos\frac{\pi}{6}/sin\theta)}dy+\int\limits_{\arcsin(\cos\frac{\pi}{6}/sin\theta)}^{\pi-\arcsin(\cos\frac{\pi}{6}/sin\theta)}dy\right)\right]\times$$

$$\times\int\limits_{0}^{\min\{r/\lvert\sin\theta\cos\varphi\rvert,r/\lvert\sin\theta\sin\varphi\rvert,r/\lvert\cos\theta\rvert\}}\rho^2d\rho$$

Скобки подразумеваются в смысле подстановки правого "множителя" внутрь левого, для компактности записи.

-- 21.05.2011 20:20:59 --

creator777 в сообщении #448396 писал(а):

Где Вы видели, чтобы в результате вычисления определенного интеграла получалась ФУНКЦИЯ?!

Да где угодно: $f(a)=\int_0^1 a^b db.$ Вам уже намекнули, что нельзя путать аргумент функции и переменную интегрирования. Неужели вам таких элементарных примеров не встречалось толпами на протяжении вашего блистательного (по вашим словам) обучения в ВУЗе?

creator777 в сообщении #448396 писал(а):

Вам "неуд" за знание интегрального исчисления, потому, что пределы Вашего интеграла четко указывают, что высота равна единице.

Не высота равна единице, а переменная $h$ равна единице.

creator777 в сообщении #448396 писал(а):

Значит, вы интегрируете по трем пространственным осям и получаете число(?!) А можно огласить число, полученное в результате вычисления Вашего интеграла?!

Могу, но это как раз для вас упражнение. А то что же вы, писать интегралы умеете, а вычислять - не умеете?

[AKM]

(Оффтоп)

creator777 в сообщении #448396 писал(а):

Я такого чуда на этом форуме еще не наблюдал!

А как Вы могли что-то наблюдать, если Вы на форуме без году неделя?
То есть Вы рассказываете, что Вы клон? Небось, какого-то там Дмитрия, научившегося, наконец, дифференциалы в интегралах ставить...

-- 21 май 2011, 21:31 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #448432 писал(а):

Тему открыли по моей вине, и надеюсь, сейчас и закроют.

Да ладно уж, вину нашли! Хотите отдохнуть, посубботничать --- г.в. Ну, ладно, утром закрою... А ТС-то первым заметил. Как будто скриптик проверочный написал...

[Someone]

creator777 в сообщении #448396 писал(а):

Уважаемый, в результате "взятия" интеграла с переменным верхним пределом получается ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА(!!!!!)

Разумеется. При вычислении определённого интеграла с переменным верхним пределом получается функция верхнего предела. А чего тут удивительного?

creator777 в сообщении #448396 писал(а):

Читайте основную теорему матанализа!!!

Никогда не встречал такого названия. Что это за чудо? Ссылочку на трёхтомник Фихтенгольца дайте, пожалуйста, где там это у него?

creator777 в сообщении #448396 писал(а):

Похоже, с дифференцированием у Вас тоже проблемы, т.к. $\displaystyle\frac{dV}{dr}=\frac{\pi r^2\cdot h}{dr}=2\pi r\cdot h$. Как, имея здравый смысл, не понимать, что равенство высоты радиусу не превращает высоту в радиус?! Хотя, это если иметь здравый смысл...

Ну, хотя бы немножко дифференциальное исчисление-то следовало бы знать. Если у нас $V=\pi r^2h$ - функция двух переменных $r$ и $h$, причём, $h=r$ (по Вашему же условию), то у неё есть частные производные $\frac{\partial V}{\partial r}=2\pi rh$ и $\frac{\partial V}{\partial h}=\pi r^2$. А $\frac{dV}{dr}$ - это полная производная, она вычисляется так:

$$\frac{dV}{dr}=\frac{\partial V}{\partial r}+\frac{\partial V}{\partial h}\cdot\frac{dh}{dr}=2\pi rh+\pi r^2\cdot 1=2\pi rh+\pi r^2.$$

Если сюда подставить, в соответствии с Вашим условием, $h=r$, то и получится $\frac{dV}{dr}=3\pi r^2$.

[Munin]

Someone в сообщении #448533 писал(а):

Никогда не встречал такого названия. Что это за чудо?

Видимо, имеется в виду теорема, что интеграл с переменным верхним пределом есть первообразная.

Someone в сообщении #448533 писал(а):

Ну, хотя бы немножко дифференциальное исчисление-то следовало бы знать.

Боюсь, топикстартер анализа функций нескольких переменных совсем не знает. На это намекает его дикое использование знака частной производной в им изобретённом интеграле.

[creator777]

nestoklon в сообщении #448416 писал(а):

creator777 в сообщении #448396 писал(а):

Ну, ладно, тогда форсируем топик.

Хорошо, гулять так гулять форсировать так форсировать.
Поскольку вы уже начали противоречить сами себе, задам вопрос:
Каким математическим объектом по-вашему является "интеграл по нескольким пространственным осям"?
Напоминаю, что в соответствии с пп. III.3.2-3 правил форума ответ на этот вопрос для вас обязателен.

Не может быть обязательным вопрос, сформулированный в нетрезвом уме: "интеграл по нескольким пространственным осям".

-- Вс май 22, 2011 03:38:38 --

Someone в сообщении #448533 писал(а):

Ну, хотя бы немножко дифференциальное исчисление-то следовало бы знать. Если у нас $V=\pi r^2h$ - функция двух переменных $r$ и $h$, причём, $h=r$ (по Вашему же условию), то у неё есть частные производные $\frac{\partial V}{\partial r}=2\pi rh$ и $\frac{\partial V}{\partial h}=\pi r^2$. А $\frac{dV}{dr}$ - это полная производная, она вычисляется так:

$$\frac{dV}{dr}=\frac{\partial V}{\partial r}+\frac{\partial V}{\partial h}\cdot\frac{dh}{dr}=2\pi rh+\pi r^2\cdot 1=2\pi rh+\pi r^2.$$

Если сюда подставить, в соответствии с Вашим условием, $h=r$, то и получится
$\frac{dV}{dr}=3\pi r^2$.

Ну да...а если бы по условию задачи высота равнялась бы одной трети радиуса, то получится:

$\frac{dV}{dr}=\pi r^2$. Очень оригинально....

Но Мунин вне конкуренции. Для таких формула - как шарик для жонглера.

Munin в сообщении #448432 писал(а):

Да где угодно: $f(a)=\int_0^1 a^b db.$ Вам уже намекнули, что нельзя путать аргумент функции и переменную интегрирования. Неужели вам таких элементарных примеров не встречалось толпами на протяжении вашего блистательного (по вашим словам) обучения в ВУЗе?
А то что же вы, писать интегралы умеете, а вычислять - не умеете?

В смысле: $\displaystyle \frac{df(a)}{db}=a^b$

Очень оригинальный подход к изобретению формул интегралов.

А вообще-то: $\displaystyle \frac{df(a)}{db}=0$. Но Вы, скорее всего, этого не знаете...

Ну все, уже утро. Где там АКМ? Пора закрывать тему.

[creator777]

Да, чуть не забыл:

1. $\displaystyle V_{C}=\int\limits_{0}^{r}\pi r^2dh=\pi r^3$;

2. $\displaystyle V_{k}=3\int\limits_{0}^{r}\pi t^2dt=\pi r^3$; Вот где $3\pi r^2$ при иных обозначениях, а вы пытались это выражение "пришпандолить" к первому интегралу...;

3. $\displaystyle V_{3C}=3\int\limits_{0}^{\frac{r}{3}}\pi r^2dh=\pi r^3$.