Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

creator777 в сообщении #447678 писал(а):

e-mail: [e-mail] или [e-mail]

Был тут на форуме такой участник strrrts...topic35744.html

[creator777]

Ну да...А кое-кто решил производные без пределов вычислять. Куда уж мне-то...

Как всегда. Все в коллективе работают, а один по углам шныряет, компромат выискивает...правда жизни...

[Лукомор]

creator777 в сообщении #447619 писал(а):

Ваш самобытный мыслительный аппарат импонировал мне еще со времен Вашей активной деятельности в "Мембране". Давайте упростим Вашу формулу:

$$V(r)=\pi \int\limits_0^R R^2 dr=\pi R^3$$

Итак: $V(r)=\pi R^3$. Называется: ПРИПЛЫЛИ!

(Оффтоп)

Вспомнил-таки старика-Лукомора!
Да..., были времена!!!
Вот только не надо ничего упрощать.
Не занимайтесь упрощенчеством!!!
Как справедливо заметил ewert, это была лишь пародия на Ваши потуги...

[serval]

Цитата:

Объем цилиндра в общем виде - функция двух аргументов

Цитата:

Объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания - функция одного аргумента

То, что вы приравняли значения двух независимых аргументов вовсе не сделало их одним аргументом. Вы лишь наложили дополнительное условие на их (двух независимых аргументов) значения.
Или я опять чего-то не понимаю?

[gris]

Вот! Именно тут и кроется самая суть.
Уважаемый ТС формулой $\displaystyle V_c= \int\limits_{0}^{r} \pi r^2dh$ предполагает, что есть некий цилиндр с постоянным радиусом основания и меняющейся высотой. И определённый интеграл даёт объём цилиндра, когда высота достигает значения радиуса.

Я же формулой $$V(r)=\int\limits_0^r 3\pi r^2 dr$ предполагаю, что цилиндр принадлежит к множеству цилиндров с высотой, равной радиусу основания. И мой интеграл даёт объём цилиндра, когда он раздуется до определённого значения.

У меня цилиндр функция одной переменной, а у ТС фактически двух, хотя радиус как бы зафиксирован. И тут мы никак не можем прийти к соглашению.

А вот: $$V(r)=\int\limits_0^r 2\pi r\cdot r \,dr$ это уже совсем другое. Тут первая $r$ в интеграле есть радиус и интегрируется именно она, а вторая $r$ остаётся константой-параметром, равной верхнему пределу интегрирования.
Это цилиндр с постоянной высотой и меняющимся радиусом. Формула даёт ответ, когда радиус становится равным высоте. Для лучшего понимания запишу так: $$V(R)=\int\limits_0^R 2\pi r\cdot R \,dr$

На самом деле интегральная форма формулы объёма даёт не просто объём конкретного цилиндра, как обычная формула, но показывает, как, в результате какого процесса, такой цилиндр образовался. Поэтому в интегральной формуле записана кинематика процесса.

[Xey]

creator777 в сообщении #447015 писал(а):

1. Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_c=f(r)=\pi r^3$.
Выразить $V_c$ в виде интеграла.

Только Munin начал правильно - ввел три координаты и написал три интеграла.
Остальные и сам автор пытались как-то незаметно протащить хотя бы одну переменную и использовать готовую формулу площади круга.

Для цилиндра проще бы ввести цилиндрические координаты - угол, радиус высота. И интегрировать три раза
по углу - найдем длину окружности
по радиусу - получим площадь круга
по высоте- получим объем

В итоге нужен тройной интеграл

(Оффтоп)

у меня нет слов

[ewert]

(Оффтоп)

Xey в сообщении #447790 писал(а):

В итоге нужен тройной интеграл

в итоге вообще ничего не нужно

[Dan B-Yallay]

Эта тема мало отличается от темы продолжения последовательности. Угадать что взбрело тестеру.

[Munin]

creator777 в сообщении #447738 писал(а):

Вы, Munin, сильный математик? Чем докажете?

Я не то что доказывать, я даже претендовать не буду, что я сильный математик. Мне достаточно, что вы - вообще никакой. Что за хрен с горы тут взялся всех тестировать, а сам не знает обозначений и понятий?

-- 20.05.2011 18:11:28 --

serval в сообщении #447784 писал(а):

То, что вы приравняли значения двух независимых аргументов вовсе не сделало их одним аргументом.

Не сделало их, но позволило записать функцию от одного аргумента.

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #447987 писал(а):

Угадать что взбрело тестеру.

Чего там угадывать -- с первой странички было ясно, а их тут уж четыре.

[creator777]

serval в сообщении #447784 писал(а):

Цитата:

Объем цилиндра в общем виде - функция двух аргументов

Цитата:

Объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания - функция одного аргумента

То, что вы приравняли значения двух независимых аргументов вовсе не сделало их одним аргументом. Вы лишь наложили дополнительное условие на их (двух независимых аргументов) значения.
Или я опять чего-то не понимаю?

ЗНАЧЕНИЯМИ тут и не "пахнет"! Знаком "равно" я ввел зависимость одной переменной от другой. Т.е. они перестали быть независимыми переменными(!) Одна из них перестала быть аргументом, т.к. не сможет теперь принимать произвольные значения.

-- Пт май 20, 2011 21:02:52 --

gris в сообщении #447787 писал(а):

Вот! Именно тут и кроется самая суть.
Уважаемый ТС формулой $\displaystyle V_c= \int\limits_{0}^{r} \pi r^2dh$ предполагает, что есть некий цилиндр с постоянным радиусом основания и меняющейся высотой. И определённый интеграл даёт объём цилиндра, когда высота достигает значения радиуса.

Это не определенный интеграл. Вам стоит пересмотреть еще разок основную теорему матанализа (ее первую часть). Эта запись ознаяает, что $V_c$ - есть функция верхнего предела. А верхний предел и есть радиус основания!

-- Пт май 20, 2011 21:12:28 --

Xey в сообщении #447790 писал(а):

creator777 в сообщении #447015 писал(а):

1. Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_c=f(r)=\pi r^3$.
Выразить $V_c$ в виде интеграла.

Только Munin начал правильно - ввел три координаты и написал три интеграла.
Остальные и сам автор пытались как-то незаметно протащить хотя бы одну переменную и использовать готовую формулу площади круга.

Для цилиндра проще бы ввести цилиндрические координаты - угол, радиус высота. И интегрировать три раза
по углу - найдем длину окружности
по радиусу - получим площадь круга
по высоте- получим объем

В итоге нужен тройной интеграл

(Оффтоп)

у меня нет слов

Вы знаете: на это уже у меня нет слов(!) Я бы понял, если бы тройной интеграл Мунина был условием задачи. И вопрос состоял в том, чтобы определить геометрическую фигуру, получаемую в результате интегрирования. Но у нас задача другая(!) Вы, как-бы, смешали вместе мух и котлеты...

-- Пт май 20, 2011 21:14:38 --

Dan B-Yallay в сообщении #447987 писал(а):

Эта тема мало отличается от темы продолжения последовательности. Угадать что взбрело тестеру.

Каждый индивидуум имеет право на свое собственное мнение...

[Лукомор]

creator777 в сообщении #448085 писал(а):

Знаком "равно" я ввел зависимость одной переменной от другой. Т.е. они перестали быть независимыми переменными(!) Одна из них перестала быть аргументом, т.к. не сможет теперь принимать произвольные значения.

Вот только жаль, что Вы забыли упомянуть об этом в условии теста.
И до сих пор неясно, являются ли, по условию теста, объём и высота цилиндра функциями от радиуса, или же наоборот, объём цилиндра является функцией радиуса, а радиус является функцией высоты цилиндра....
А поскольку задача некорректно поставлена, то и решения могут быть различными...

[creator777]

Munin в сообщении #447989 писал(а):

Что за хрен с горы тут взялся всех тестировать, а сам не знает обозначений и понятий?

В смысле от своего умственного бессилия Вы готовите в виде ответной реакции на оскорбление почву для моего бана? Мы это уже "проходили"... Нормальный человек просто перестанет общаться, если ему неинтересно, а иной старается "лишить голоса" неудобного для себя оппонента. Бог в помощь!

[Dan B-Yallay]

creator777 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #447987 писал(а):

Эта тема мало отличается от темы продолжения последовательности. Угадать что взбрело тестеру.

Каждый индивидуум имеет право на свое собственное мнение...

Не могу с этим спорить.
Судя по некорректно поставленному вопросу, Вас что-то "осенило" в теме " Начала Матанализa - интегрирование" (где-то в прошлом году).
Дальше Вы недоучились или Вас отчислили. "Осенение" осталось, а понимамие не пришло. Сюда много таких заходит. (Я сам из них в прошлом)

[gris]

creator777 писал(а):

Это не определенный интеграл.

Формально, это интеграл с переменным верхним пределом, но вроде бы, таковые относятся к определённым. Хотя у Вас переменная верхнего предела входит и в подынтегральное выражение. У Фихтенгольца это называется "интегралом, зависящим от параметра, когда параметр входит в пределы интегрирования." Нет? Надо повторить классику. Мечтаю почитать что-нибудь этакое.