В связи с тем, что в постах была нарушена методическая последовательность
изложения материала, пришлось все перекраивать. Извините.
Для решения этой проблемы необходимо использовать приведенные системы
вычетов (ПСВ) по модулю
![$M(p)=\prod_2^p(p)$ $M(p)=\prod_2^p(p)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/3/ff3917062795ddbb31e848fbc858ae8c82.png)
(произведение простых чисел от 2 до р).Обозначение: М(р) будем применять при конкретном р,а если это неважно, то просто М,
а - вычет ПСВ, d - разность между вычетами,
Nd - число разностей d в ПСВ, р - всегда простое число.
Число вычетов ПСВ по модулю М определяет функция Эйлера
Например, ПСВ по модулю
![$M(5)=2\star3\star5=30, \varphi(30)=1\star2\star4=8$ $M(5)=2\star3\star5=30, \varphi(30)=1\star2\star4=8$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/4/d7431f18f3f85a82a73bc381f474109482.png)
1, 7, 11,13, 17,19, 23, 29.
Чтобы найти вычеты ПСВ по модулю
![$M(7)=210$ $M(7)=210$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/1/4a16cb3fa96bb2d18e2bd9ddbab1620682.png)
, надо увеличивать все вычеты ПСВ по модулю 30 на 30 до 210, затем убрать числа, кратные 7. Это вычеты по модулю 30, умноженные на 7.
Вычеты ПСВ взаимно простые с модулем и взаимно несравнимые по модулю.
В ПСВ по модулю р или по модулю М вычеты распoложены симметрично относительно числа 0,5р или числа 0,5М, т.е.
![$a_{1+n}+a_{\varphi(p)-n}=p$ $a_{1+n}+a_{\varphi(p)-n}=p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/0/33051fe09880c95bd20fbb8a8ec71c2382.png)
или
![$a_{1+n}+a_{\varphi(M)-n}=M$ $a_{1+n}+a_{\varphi(M)-n}=M$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/a/e5a452918eb4c542ba504f71658f19e882.png)
, где (1+n)- порядковый номер вычета а.
Замечательной особенностью ПСВ по модулю
![$M(p_r)$ $M(p_r)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/3/f733b26d42238783d6d86fb6a7a970e082.png)
является то. что вычеты а интервале
![$1 < a < p^2_{r+1}$ $1 < a < p^2_{r+1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/8/df886732fdc2e92d3a036020a19f02e182.png)
представляют непрерывный ряд простых чисел, исключая первые r простые, составляющие модуль.
Модуль М(р) при
![$p\rightarrow\infty$ $p\rightarrow\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/0/76054e18e7a13ce45000f4de2323364882.png)
растет факториально, верхняя граница простых чисел ПСВ растет как
![$ p^2$ $ p^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/1/cf1b4ca2497c093b50a6dfce82a9c9e282.png)
, а нижняя граница растет как р.
Интервал простых чисел при этом растет, однако доля его в модуле уменьшается.
ПСВ позволяет производить абсолютно точные расчеты с вычетами ПСВ в любой комбинации, что отностися и к интервалу простых чисел. Но для этого необходим новый аппарат, включающий в себя понятия группы вычетов и функции Эйлера высших порядков.
Число вычетов ПСВ, имеющих близнецов, определяется функцией Эйлера второго порядка по простому модулю
![$\varphi_2(p)$ $\varphi_2(p)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/8/2288efdfaaee54d361b82b941716800882.png)
и по составному модулю М -
![$\varphi_2(M)$ $\varphi_2(M)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/6/6d6048d56715b827119c6d2236d1373882.png)
(новое понятие).
Теорема1. Число вычетов-близнецов в ПСВ по модулю
![$p>2$ $p>2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/5/2e56048504a7c156e1fe8fb5a14aec9e82.png)
равно
![$p-2=\varphi_2(p)$ $p-2=\varphi_2(p)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/c/67c573cd7fc0df0788c67de3fd80935982.png)
.
Доказательство. Рассмотрим ПСВ по модулю
![$p>2$ $p>2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/5/2e56048504a7c156e1fe8fb5a14aec9e82.png)
: 1, 2, 3.....(p-2),(p-1). Только один вычет (р-2) не имеет своего близнеца, т.к.
![$p-2+2=p$ $p-2+2=p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/b/cfb2a6505bcc03fbdd2b910885a1ae6482.png)
. Остальные вычеты их имеют. Отсюда
![$\varphi_2(p)=\varphi(p)-1=p-2$ $\varphi_2(p)=\varphi(p)-1=p-2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/3/9f3c218af918b58c89bd44cdd28409de82.png)
. При
![$p=2$ $p=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/2/90264925fb137831c8f410cd14c75cff82.png)
, ПСВ
![$=1 , 1+2=3$ $=1 , 1+2=3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/6/7d6357ece288f6928c5745c14408329b82.png)
взаимно простое с
![$p=2$ $p=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/2/90264925fb137831c8f410cd14c75cff82.png)
и
![$\varphi_2(2)=1$ $\varphi_2(2)=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/c/73c8701ecab852ee3d6d8a1b76ded29682.png)
.
![$\varphi_2(M)=\prod \varphi_2(p)=\prod_3^p(p-2)$ $\varphi_2(M)=\prod \varphi_2(p)=\prod_3^p(p-2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/e/46ec3166122dd9a75aec07b884a9ce7682.png)
. Доказательство мультипликативности
![$\varphi_2(p)$ $\varphi_2(p)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/8/2288efdfaaee54d361b82b941716800882.png)
см. ниже.
Например, в ПСВ по модулю 30 число близнецов
![$\varphi_2(30)=1\star3=3$ $\varphi_2(30)=1\star3=3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/5/b75a0886a855561f0177fddeb4964cbf82.png)
.
Это11,13, 17,19, 29,31. В ПСВ по М(7)
![$\varphi_2(210)=1\star3\star5=15$ $\varphi_2(210)=1\star3\star5=15$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/c/60c8353162ad60533eb78ad024a006ff82.png)
.
Отношение
![$\frac {\varphi_2(M)}M$ $\frac {\varphi_2(M)}M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/1/f51c4dcffeb860bea19322101e6c6d3182.png)
- средняя плотность близнецов в модуле, следовательно, число близнецов, приходящееся на интервал простых чисел будет равно:
![$p^2\frac {\varphi_2(M)}M$ $p^2\frac {\varphi_2(M)}M$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/b/adb6eec9094a046e14236d7f25853f9a82.png)
Эта формула аналогична известной формуле В.Бруна (Норвегия 1920г.), но более точная.
![$\pi_2(x)\leqslant\frac{Cx}{(\ln x)^2}$ $\pi_2(x)\leqslant\frac{Cx}{(\ln x)^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/0/df05bd08136fe499e5b21cb90f15a4f582.png)
Но это не доказывает бесконечности простых близнецов.
Для доказательства этой проблемы необходимо дальнейшее расширение
понятия функции Эйлера (высших порядков).
Это требует более объемного доказательства.