множества. отношение эквивалентности

[Sverest]

Докажите, что отношение $(a,b)P(c,d)$ тогда и только тогда, когда $a^2+b^2=c^2+d^2$ является отношением эквивалентности на множестве $R \times R$. Найдите классы эквивалентности и изобразите их на координатной плоскости.

Как такое делать?

[ewert]

Sverest в сообщении #445996 писал(а):

Докажите, что отношение $(a,b)P(c,d)$ тогда и только тогда,

Эта формулировка имела бы смысл, если бы предварительно было сказано, что понимается под отношением $P$.

[ИСН]

В моём понимании ровно это тут и сказано (я, правда, не знаю, как такое обычно записывают): это такое отношение, которое имеют друг к другу две пары чисел тогда и только тогда, когда...

[ewert]

ИСН в сообщении #446003 писал(а):

В моём понимании ровно это тут и сказано

В моём понимании тут ровно ничего не сказано.

А если и сказано, то что-то вроде "доказать, что площадь прямоугольника тогда и только тогда, когда $a\cdot b$".

[Joker_vD]

ewert
Там написано может и коряво, но вполне понятно: "Точки $(a,b)$ и $(c,d)$ связаны отношением $P$ тогда и только тогда, когда $a^2+b^2=c^2+d^2$. Доказать, что отношение $P$ является отношением эквивалентности на $\mathbb R \times \mathbb R$."

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

казнить нельзя помиловать.

В тон: докажите окружности классы эквивалентности.

[Padawan]

Sverest
Вот обобщение, проясняющее суть дела. Дано отображение $f\colon X\to Y$. Докажите, что отношение $xPy$, определяемое, как $f(x)=f(y)$, является отношением эквивалентности на множестве $X$. Какие тут будут классы эквивалентности?

[--mS--]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #446149 писал(а):

Дано отображение $f\colon X\to Y$. Докажите, что отношение $xPy$, определяемое, как $f(x)=f(y)$ является отношением эквивалентности на множестве $X$.

Если бы перед "является" стояла бы обязательная здесь запятая (как и в исходном тексте), было бы гораздо понятнее.

[Sverest]

получается, что задание в методичке некорректно написано, его можно сделать?

[Gortaur]

Написано оно корректно, но неграмотно. Запятую пропустили, а наши грамматические генералы навели шуму - хотя по смыслу догадаться труда нет. Помните какие свойства у отношения эквивалентности? Вот их и надо проверить.

Насчет классов эквивалентности - две точки $(a,b)$ и $(c,d)$ принадлежат одному и тому же классу, тогда и только тогда, когда

$$ a^2+b^2 = c^2+d^2. $$

Если мы любую сторону обозначим через $r^2$ - то мы получим уравнение ...

[Sverest]

уравнение круга?

[Gortaur]

Да (корректнее, окружности - круг это не линия, а область).

[Sverest]

В математике бинарное отношение $R$ на множестве $X$ называется транзитивным, если для любых трёх элементов множества $a,b,c$ выполнение отношений $aRb$ и $bRc$ влечёт выполнение отношения $aRc$.

и как здесь доказать транзитивность?

[arseniiv]

Что у нас означает $aRb$? А что означает $bRc$? Следует ли из этих двух утверждений то, что у нас означает $aRc$?

-- Вс май 22, 2011 00:51:28 --

А с рефлексивностью и симметричностью получилось?

[Gortaur]

Sverest
Для транзитивности: ну значит, рассмотрите 3 точки: $(a,b),(c,d),(e,f)$. Тогда $(a,b)R(c,d)$ значит, что $a^2+b^2 = c^2+d^2$. $(c,d)R(e,f)$ значит, что $c^2+d^2 = e^2+f^2$. Получится ли отсюда $(a,b)R(e,f)$?