Функан: найти норму функционала

[Dan B-Yallay]

$p=2$
Cauchy Schwartz:
$\left(\sum xy \right )^2 \leq \sum|x|^2 + \sum |y|^2 $

[ewert]

vlad_light в сообщении #445461 писал(а):

Продолжим:)

А какой смысл продолжать. Когда вопрос никак не сформулирован.

[vlad_light]

Всё-равно не понял:(
Если Вы имеете ввиду $\sum (-1)^n \frac{x_n}{n}\leq(\sum (-1)^n \frac{x_n}{n})^2\leq \sum \frac{1}{n^2}+\sum x_n^2$, то в первом переходе я сомневаюсь.
Если нет - то подскажите, пожалуйста.

Как вопросов нет?! Есть, и аж 4:)
1. как ограничить при $p=2$;
2. какое подобрать $x^*$ для второго примера, чтоб ограничить норму ф-ала снизу 2-мя;
3. Правда ли то, что я написал?
4. Какой критерий слабой сходимости в $L_p, l_p, C$
Спасибо за ответы!

[Dan B-Yallay]

Прошу прощения за опечатку. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца; $|\sum xy|^2 \leq \sum |x|^2 \cdot \sum |y|^2 $

Итак:

$$\begin{align*} |f(x)|^2 & = \left| \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \dfrac {x_n}{n} \right|^2 \leq \left| \sum_{n=1}^\infty \dfrac {|x_n|}{n} \right|^2 \\ &=\left| \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \dfrac {|x_n|}{n} \right|^2 \leq \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N |x_n|^2 \cdot \sum_{n=1}^N \dfrac 1 {n^2}\\ &=\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 \cdot \sum_{n=1}^\infty \dfrac 1 {n^2} = \|x\|_2^2 \cdot \sum_{n=1}^\infty \dfrac 1 {n^2} .\\ |f(x)| & \leq \|x\|_2 \cdor \sqrt{\sum_{n=1}^\infty \dfrac 1 {n^2} }, \qquad \|f\| \leq \sqrt{\sum_{n=1}^\infty \dfrac 1 {n^2} } \end{align*}$$

Догадайтесь сами, на каком $x*$ достигается равенство.

(Оффтоп)

Там с пределами возможно надо более подробно поработать.

[vlad_light]

1. Спасибо! Получается: $\|f\|=1$, поскольку $x^*=-e_1=(-1,0,0,...), \|x^*\|=1$ и $f(x^*)=1 \Rightarrow \|f\| \geq 1 \Rightarrow \|f\|=1$. Правильно?
2. Как ограничить такой $f(x)=\sum (1-(-1)^n)\frac{n-1}{n}x_n $ ф-ал снизу 2-мя?
3. И про слабую сходимость ссылочку киньте, пожалуйста:)

[Dan B-Yallay]

1)

Цитата:

$\|f\|=1$

$$\sum_{n=1}^\infty \dfrac 1{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}, \quad \| f\|\leq \dfrac{\pi} {\sqrt 6} \quad x^*= \Big\{\dfrac{\sqrt{6}}{\pi}\dfrac{(-1)^n}{n}\Big\}_{n\in \mathbb N} \qquad f(x^*)=?$$

3)Теорема Рисса-Фишера уже доказывалась у Вас на курсе?

[vlad_light]

Ой, это я уже сплю:)
Я перепутал $\sum \frac{1}{n^2}$ с $\sum \frac{1}{2^n}$:)
Наверное была. Я лекции не слушаю. Скорее всего была.
Вообщем, я помню что-то про сопряжённые индексы, типа: $(l_p)^*~l_q, (L_p)^*~L_q$.
А ещё, что норма ф-ала $f(x)=\int_a^b x(t)dF(t)$ равна вариации ф-ции $F(t)$.
Напомните, пожалуйста!

[vlad_light]

Нашёл такое:
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, x_k \in l_p, f_k \in l_q, f(x)=\sum f_kx_k \Rightarrow \|f\|=(\sum |f_k|^q)^{1/q}$
$f\in C([a,b]), g\in BV([a,b]), f(x)=\int_a^b x(t)dg(t) \Rightarrow \|f\|=V_a^b g(t)$
Это, наверное, и есть теорема риса.
Для $L_p$ напишите, пожалуйста!
По слабой сходимости:
$E$-ЛНП, $E\supset x^{(n)}\to\limits^\omega x\subset E, n\to \infty\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 1)\forall l\in M\subset E(total):l(x^{(n)})\to l(x), n\to \infty;$
$2)\exists c>0 \forall n\in \mathbb N:\|x^{(n)}\|\leq c$
Теперь пример:
$X=l_p, 1<p<\infty; x^{(n)}=(0,...,0,1-\frac{1}{n},0,...)$
2)$\|x^{(n)}\|_p=1-\frac{1}{n}\leq 1$
1) Как такое условие проверить?

(Оффтоп)

Кандидатом на сходимость будет $x=\overline 0$, как следствие из сходимости по норме. Как его сюда впихнуть?

И что такое тотальное множество простыми словами объясните, пожалуйста!

[vlad_light]

С тотальным более-менее понятно, поскольку часто использую теорему Стоуна.
Подскажите по поводу слабой сходимости, пожалуйста!

[maxmatem]

ewert

Цитата:

"Носитель" -- то множество, на котором функция отлична от нуля.

Скорее это замыкание этого множества.

[vlad_light]

По-моему, это не важно:) Лучше по вопросу подскажите:)

[Dan B-Yallay]

Вам надо узнать подробнее о сопряженных пространствах в общем и в частности о $(l_p)^*= l_q, \ \big( L^p(0,1)\big)^*=L^q$ для $1<p<\infty, \ 1/p+1/q=1$

[vlad_light]

Пожалуйста, помогите мне с функаном:)
To Dan B-Yallay:
Зачем Вы это написали? Я ведь конкретный вопрос задал. Разве $l_p^*$ равно $l_q$? По-моему, они только изометричны. Также, почему вы пишете $(0,1)$ вместо $[0,1]$, а точнее $K$ - компакт? И раз уж начали писать, почему не уточнили про случаи $p=1;\infty$?
Ещё раз сформулирую вопрос:
1. Каким образом строится изометрия между $L_p^*$ и $L_q$ и чему равна норма ф-ала в $L_p^*$?
2. Какие существуют критерии слабой сходимости в ЛНП, кроме того, что я написал. И как проверить первое условие в моём критерии на данном примере?
Спасибо!

[ewert]

vlad_light в сообщении #446381 писал(а):

Разве $l_p^*$ равно $l_q$? По-моему, они только изометричны.

Потому, что это одно и то же с точностью до жаргона.

vlad_light в сообщении #446381 писал(а):

Также, почему вы пишете $(0,1)$ вместо $[0,1]$, а точнее $K$ - компакт?

Потому, что для пространств с интегральной нормой это не имеет значения.

vlad_light в сообщении #446381 писал(а):

И раз уж начали писать, почему не уточнили про случаи $p=1;\infty$?

Потому, что это -- особый случай.

vlad_light в сообщении #446381 писал(а):

Зачем Вы это написали? Я ведь конкретный вопрос задал.

Если под "конкретным" имелся в виду второй вопрос (про слабую сходимость) -- то потому, что понять что-то в этом вопросе ничего невозможно. Ни формулировки утверждения, ни самого вопроса, ни примера -- просто набор значков.

[Dan B-Yallay]

vlad_light в сообщении #446381 писал(а):

Пожалуйста, помогите мне с функаном:)
To Dan B-Yallay:
Зачем Вы это написали? Я ведь конкретный вопрос задал. Разве $l_p^*$ равно $l_q$? По-моему, они только изометричны.

Они настолько изометричны, что обычно их идентифицируют. (Ваши конкретные вопросы не всегда понятны.)

Цитата:

Также, почему вы пишете $(0,1)$ вместо $[0,1]$, а точнее $K$ - компакт? И раз уж начали писать, почему не уточнили про случаи $p=1;\infty$?

Вы можете указать принципиальную разницу между $L^p(0,1)$ и $L^p[0,1]?$. Случай с $L^p, \ p=1; \infty $ надо рассматривать отдельно, так как они нерефлексивны. Будете читать и сами увидите.

Цитата:

Ещё раз сформулирую вопрос:
1. Каким образом строится изометрия между $L_p^*$ и $L_q$ и чему равна норма ф-ала в $L_p^*$?
2. Какие существуют критерии слабой сходимости в ЛНП, кроме того, что я написал. И как проверить первое условие в моём критерии на данном примере?
Спасибо!

1. Теорема Рисса о представлении линейного функционала в $L_p$

О! Спасибо ewert, который уже успел ответить за меня. С точностью до изоморфизма.