Функан: найти норму функционала

[vlad_light]

Цитата:

1. Каким образом строится изометрия между и и чему равна норма ф-ала в ?
2. Какие существуют критерии слабой сходимости в ЛНП, кроме того, что я написал. И как проверить первое условие в моём критерии на данном примере?

Принципиальная разница в том, что $(0,1)\subset K$, а наоборот - нет. Больше разницы нет.
Теорему Рисса для $L_p$я не нашёл, скиньте источник, пожалуйста.
Второй вопрос расскажу словами, если значками не понятно:
Последовательность элементов $x_n$ из ЛНП сходится слабо к элементу $x$ из того же пространства тогда и только тогда, когда выполнены условия:
1) Для любого ф-ала $l$из тотального подмножества множества спряженного к нашему ЛНП, последовательность $l(x_n)$ сходится к $l(x)$, как числовая последовательность.
2) все нормы $x_n$ ограничены.
Вопрос:как проверить первый критерий на примере $x_n=(0,...,0,1-\frac{1}{n},0,...)$

[Dan B-Yallay]

Цитата:

Теорему Рисса для $L_p$я не нашёл, скиньте источник, пожалуйста.

topic10673.html

Цитата:

Вопрос:как проверить первый критерий на примере

Встречный вопрос: в каком пространстве будет лежать линейный функционал?

[vlad_light]

Спасибо за ссылку, сейчас прочту.
ф-ал будет лежать в пространстве $l_q, 1<q<\infty$. Т.е. будет иметь вид:
$\sum x_nf_n, f\in l_q$ Правильно?

[ewert]

vlad_light в сообщении #446414 писал(а):

Принципиальная разница в том, что $(0,1)\subset K$, а наоборот - нет

Для пространств $L_p(\Omega)$ не имеет никакого значения, компактна $\Omega$ или нет -- лишь бы была измеримой. И изменение этой области на множество нулевой меры никак не изменит получающегося пространства (с точностью до естественного изоморфизма).

vlad_light в сообщении #446414 писал(а):

Теорему Рисса для $L_p$я не нашёл,

Посмотрите хотя бы Люстерника-Соболева или Колмогорова-Фомина -- хоть в одной из этих книжек, да есть (а насколько помню, в обеих).

vlad_light в сообщении #446414 писал(а):

Последовательность элементов $x_n$ из ЛНП сходится слабо к элементу $x$ из того же пространства тогда и только тогда, когда выполнены условия:
1) Для любого ф-ала $l$из тотального подмножества множества спряженного к нашему ЛНП, последовательность $l(x_n)$ сходится к $l(x)$, как числовая последовательность.
2) все нормы $x_n$ ограничены.
Вопрос:как проверить первый критерий на примере $x_n=(0,...,0,1-\frac{1}{n},0,...)$

Вот видите -- опять, строго говоря, ничего не понятно. Ну попробуем потелепатить.

Во-первых: в каком таком пространстве-то?... Ну предположим, что в $l_p$.

Во-вторых: что в точности за пример-то?... Ну предположим, что та разность стоит в $n$-ой позиции.

В-третьих: какой такой "первый критерий"?... У Вас только один критерий. Ну предположим, что имелось в виду первое требование.

В-четвёртых: если все предположения верны, то зафиксируйте некоторый линейный функционал и просто выпишите его значения на элементах этой последовательности -- и посмотрите, куда они стремятся.

[Dan B-Yallay]

vlad_light в сообщении #446425 писал(а):

Спасибо за ссылку, сейчас прочту.
ф-ал будет лежать в пространстве $l_q, 1<q<\infty$. Т.е. будет иметь вид:
$\sum x_nf_n, f\in l_q$ Правильно?

Правильно. Теперь последуйте совету "в четвертых" от ewert

[vlad_light]

1) Да, в $l_p, 1<p<\infty$. Уже писал, решил не повторяться.
2) Логично предположить, что в $n$-той. Другого варианта я не вижу(кроме $n-k$-той, что никак не влияет на результат).
3) Да, я имел ввиду 1-ое условие критерия. Тут согласен:)
4) Зафиксируем ф-ал $f(x)=\sum\limits_k f_kx_k=f_n(1-\frac{1}{n})\to f_{\infty}, n\to \infty$. А что из этого следует? Или я неправильно сделал?

[Dan B-Yallay]

1) Такой вещи как $f_\infty$ не существует.
2) $\lim (1-1/n)=1, $
3) Что Вы знаете о последовательности $\{f_n\}$ предcтавляющей $f \in l^q$?

[vlad_light]

Знаю, что $\sum |f_k|^q <\infty$. Вроди всё:)

[Dan B-Yallay]

Критерий сходимости числого ряда?

[vlad_light]

Это про то, что хвост стремится к нулю?

[Dan B-Yallay]

Ну да , а значит kуда стремится $f(x^n)= \sum_k f_kx^n_k= f_n\cdot (1-1/n)$?

[vlad_light]

Ко мне пришло просветление!)
Теперь вопрос номер 2: есть ли альтернативный способ решения подобных задачь?

[Dan B-Yallay]

Не скажу навскидку. Почитайте того же Данфорда-Шварца или еще кого-нибудь по ФункАну.

[ewert]

А вот на меня нашло вдруг затемнение. Ув. vlad_light обладает удивительным свойством пудрить мозги. Мне, во всяком случае. Он почитает своим прямым долгом ни в коем случае не формулировать задачу точно.

В данном конкретном случае. Вовсе не исключено, что на момент поступления задачки тот критерий слабой сходимости уже был, а вот сопряжённости $l_p$ и $l_q$ -- ещё не было. Тогда пафос задачки в том, чтобы придумать подходящее тотальное множество, которое позволило бы применить критерий.

Тогда надо взять в качестве того множества просто множество функционалов, задаваемых последовательностями, у которых один из элементов -- единичка, а все остальные -- нули. Для любого $l_p$ при $p\in[1;+\infty]$ (включая бесконечность) таковые функционалы линейны, ограниченны и образуют тотальное подмножество.

[vlad_light]

сопряжённость была:)
Т.е. нужно взять систему $\{e_n=(0,...,0,1,0,...)|n\geq 1\}$ в качестве тотального множества в $l_p^*$, я правильно понимаю?

(Оффтоп)

Буду формулировать задачи точно! Только не ругайте больше:)