Функан: найти норму функционала

[ewert]

vlad_light в сообщении #446538 писал(а):

сопряжённость была:)

Тогда непонятен сам смысл задачки. Пространство функционалов -- естественно, является тотальным по отношению к самому себе.

[vlad_light]

Ну это была пробная задачка:)
$X=l_p, 1<p<\infty; x_n=(1,...,1,\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1},...)$, где последнаяя единичка на $n-1$-ой позиции. Исследовать на слабую сходимость.
Проверяем условия критерия:
2) $\|x_n\|=\sum\limits_k |x_k|^p=(n-1)+\sum \frac{1}{(n+k)^p}$
Тогда первая штука стремится к $\infty$, а вторая - к $0$, как хвост. Т.е. в сумме к бесконечности $\Rightarrow$ не сходится слабо.
Проверьте, пожалуйста! Спасибо!

[Dan B-Yallay]

vlad_light писал(а):

2) $\|x_n\|=\sum\limits_k |x_k|^p=(n-1)+\sum \frac{1}{(n+k)^p}$

$\|x_n\|_q=\left({\sum\limits_k |x_k|^p\right)^{1/q}=...$
Хоть это и не меняет сути дела, но аккуратность никогда не вредит.

[vlad_light]

Я это знаю, но не пишу, потому, что для ограниченности это правда. Решил правильно?

(Оффтоп)

Кстати, там индексы в норме либо$p$, либо $q$

[Dan B-Yallay]

Решение верно, последовательность никуда не сходится. И с индексами тоже верно. Опечатался.

[vlad_light]

Ещё пример:
$X=l_p, 1<p<\infty; x_n=(\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1},...)$
2) $\|x_n\|_p=\sum \frac{1}{n^p}<\infty$
1) $l_q \ni f(x)=\sum x_nf_n=\sum \frac{f_n}{n}\to 0$, когда $f=\overline 0$
Значит $x_n\to^\omega \overline 0, n \to \infty$
Проверьте, пожалуйста!

[ewert]

vlad_light в сообщении #446579 писал(а):

$x_n\to^\omega \overline 0, n \to \infty$

Пожалуйста, никогда так не пишите. В крайнем случае можно $x_n\mathop{\to}\limits^w \overline 0, n \to \infty$.

И какой смысл говорить о слабой сходимости, когда она стремится к нулю просто по норме?...

Какие-то тупые всё задачки.

[vlad_light]

От простого к сложному:)
$l_p, 1<p<\infty; x^{(n)}=(\frac{1+n}{1+n}, \frac{1+n}{1+2n},...,\frac{1+n}{1+kn},...)$
2) $\|x^{(n)}\|_p=\sum\limits_k |x_k^{(n)}|^p=\sum\limits_k (\frac{1+n}{1+kn})^p\to \sum\limits_k \frac{1}{k^p}<\infty, n\to\infty $
1)$l_q\ni f(x^{(n)})=\sum\limits_k f_k\frac{1+n}{1+kn}\mathop{\to}\limits_{n\to\infty} \sum\limits_k \frac{f_k}{k}=f(x)\Rightarrow x=(1,\frac{1}{2},...,\frac{1}{n},...)$
$x^{(n)}\mathop{\to}\limits^\omega x, n\to \infty$
Правильно?

(Оффтоп)

Большое спасибо за $\mathop{\to}\limits^\omega$.

$l_p, 1<p<\infty; x^{(n)}=(1,0,\frac{1}{3^2},...,\frac{1}{(2n-1)^2},\frac{1}{(2n)^2},\frac{1}{(2n+1)^2},...)$
2) $\|x^{(n)}\|_p=\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)^{2p}}+\sum\limits_{k=2n}^\infty \frac{1}{k^{2p}}\mathop{\to}\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^{2p}}<\infty$
1) $l_q\ni f(x^{(n)})=\sum\limits_{k=1}^n \frac{f_k}{(2k-1)^2}+\sum\limits_{k=2n}^\infty \frac{f_k}{k^2}\mathop{\to}\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{f_k}{(2k-1)^{2}}=f(x)\Rightarrow$
$\Rightarrow x=(1,0,\frac{1}{3^2},0,...,\frac{1}{(2n-1)^2},0,...)$
$x^{(n)}\mathop{\to}\limits^\omega x, n\to \infty$
Правильно?

[vlad_light]

Раз не хотите отвечать, задам вопрос немного не по теме:) Итак:
Где используется функан в прикладном применении?

(Оффтоп)

Мне что-то рассказывали про спектр, но я не могу понять куда и зачем его применять.

Спасибо за ответы!